Matemática · caderno azul

Questão 166 do ENEM 2013

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2013:

Marcar para revisar

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após $t$ anos, é calculada pela expressão $M (t) = A \cdot (2, 7)^{k t}$ , onde $A$ é a massa inicial e $k$ é uma constante negativa.

Considere 0,3 como aproximação para $\log_{10} 2$ .

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

Alternativa A: 27

Incorreta — multiplica a meia-vida por 0,9, a queda de 90%; em menos de 30 anos a massa ainda passa de 50%.

25,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 36

Incorreta — em 36 anos a massa só cai para cerca de 43%, longe dos 10% pedidos.

23,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 50

Incorreta — em 50 anos ainda restam cerca de 31% da massa.

16,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 54

Incorreta — regra de três linear (30 · 90/50), mas a queda é exponencial: em 54 anos restam cerca de 29%.

21,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta): 100

Correta — 100 anos são 10/3 meias-vidas, e restam cerca de 10% da massa.

12,5% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2013

Acerto no Brasil: 12,5%
Errada mais marcada: A, 25,9%
Nível na TRI: cerca de 790

Deixar para o fim Só 13% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2013 (INEP) · 5.026.121 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Propriedades de log e manipulações · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H21: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

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Questões parecidas: propriedades de log e manipulações em outras provas

O que você precisa saber

• Meia-vida: a massa cai à metade a cada período
• Logaritmo de potência: log b^x = x · log b
• log 10 = 1 e log (1/2) = −log 2

Ideia da questão

A questão quer o tempo para a massa chegar a 10% do valor inicial. Use a meia-vida para achar o valor de k · log 2,7 e resolva a condição dos 10% com logaritmo.

Resolução passo a passo

Passo 1 Usar a meia-vida

Em 30 anos a massa cai para a metade, então $M (30) = \frac{A}{2}$ . Isso dá uma equação para a parte exponencial.

A \cdot 2, 7^{30 k}

= \frac{A}{2}

: A nos dois lados

2, 7^{30 k}

= \frac{1}{2}

Passo 2 Aplicar o logaritmo

Chame $\log 2, 7$ de $L$ e aplique o logaritmo nos dois lados da equação da meia-vida.
$\begin{aligned} 30 k \cdot L & = \log \frac{1}{2} \\ = - \log 2 \\ = - 0, 3 \end{aligned}$

Passo 3 Equacionar os 10%

A massa de 10% da inicial dá $2, 7^{k t} = \frac{1}{10}$ , e o logaritmo dos dois lados dá a segunda equação.
$\begin{aligned} k t \cdot L & = \log \frac{1}{10} \\ = - 1 \end{aligned}$

Passo 4 Dividir uma equação pela outra

Ao dividir a segunda pela primeira, $k$ e $L$ se cancelam e sobra $t$ em função de 30.
$\begin{aligned} \frac{k \cdot t \cdot L}{30 \cdot k \cdot L} & = \frac{- 1}{- 0, 3} \\ \frac{t}{30} & = \frac{10}{3} \\ t & = 30 \cdot \frac{10}{3} \\ = 100 \end{aligned}$

Atenção

A queda não é linear: a regra de três que associa 30 anos a 50% de queda dá $30 \cdot \frac{90}{50} = 54$ anos para 90%, a alternativa D, mas a massa cai cada vez mais devagar.

Conclusão

Cair a 10% leva um pouco mais de três meias-vidas de 30 anos, ou seja, 100 anos. Portanto, a alternativa correta é a E.

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