Matemática · caderno azul

Questão 169 do ENEM 2013

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2013:

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Considere o seguinte jogo de apostas:

Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.

Tabela com as colunas Quantidade de números escolhidos em uma cartela, Preço da cartela (R$), na questão 169 do ENEM 2013

Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:

Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos;

Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos;

Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos;

Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos;

Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são

Alternativa A (correta): Caio e Eduardo.

Correta — Eduardo cobre 420 senas e Caio 346, mais que os outros três.

12,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: Arthur e Eduardo.

Incorreta — Arthur tem 250 cartelas, mas cada uma cobre só 1 sena: são 250 senas.

16,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: Bruno e Caio.

Incorreta — deixou Eduardo (420 senas) de fora; Bruno cobre só 291.

19,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: Arthur e Bruno.

Incorreta — contou cartelas (250 e 45), mas uma cartela de 7 números cobre 7 senas, e não 1.

31,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: Douglas e Eduardo.

Incorreta — Douglas cobre 336 senas, 10 a menos que as 346 de Caio.

19,4% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2013

Acerto no Brasil: 12,3%
Errada mais marcada: D, 31,5%
Nível na TRI: cerca de 990

Deixar para o fim Só 12% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Pegadinha A alternativa D atraiu 32% do Brasil, mais que a certa (12%). Antes de marcar, releia o que a pergunta pede.

Microdados do ENEM 2013 (INEP) · 5.026.121 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Contagem aplicada à probabilidade
Habilidade do ENEM: H30: Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.

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Questões parecidas: contagem aplicada à probabilidade em outras provas

O que você precisa saber

• Combinação: uma cartela de k números cobre C(k, 6) senas
• C(n, 6) = C(n, n − 6), mais curto de calcular
• Mesmo sorteio para todos: mais senas cobertas, mais chance

Ideia da questão

A questão quer os dois apostadores que cobrem mais senas diferentes com os R$ 500,00. Calcule quantas senas cada tipo de cartela cobre, multiplique pela quantidade de cartelas e compare os totais.

Resolução passo a passo

Passo 1 Ver a cobertura da cartela

Uma cartela com $k$ números vence se a sena sorteada estiver entre eles. Ela cobre todas as senas formadas com esses $k$ números, ou seja, $(\binom{k}{6})$ senas. Como o sorteio é o mesmo para todos, quem cobre mais senas tem mais chance.

Passo 2 Contar as senas da cartela

A cartela de 6 números cobre 1 sena. Nas outras, é mais curto escolher os números que ficam de fora, pois $(\binom{n}{6}) = (\binom{n}{n - 6})$ .

(\binom{7}{6})

= (\binom{7}{1})

= 7

(\binom{8}{6})

= (\binom{8}{2})

= \frac{8 \cdot 7}{2}

= 28

(\binom{9}{6})

= (\binom{9}{3})

= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2}

= 3 \cdot 4 \cdot 7

9:3 e 8:2

= 84

(\binom{10}{6})

= (\binom{10}{4})

= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2}

= 10 \cdot 3 \cdot 7

9:3 e 8:(4·2)

= 210

Observação

Em cada conta, o numerador tem tantos fatores quanto o número de baixo do binomial, e o denominador é o fatorial desse número.

Passo 3 Somar as senas por apostador

Cada apostador multiplica a quantidade de cartelas pelas senas que cada tipo cobre e soma.

Senas cobertas

Apostador	Conta	Senas
Arthur	250 × 1	250
Bruno	41 × 7 + 4 × 1	291
Caio	12 × 28 + 10 × 1	346
Douglas	4 × 84	336
Eduardo	2 × 210	420

Passo 4 Escolher os dois maiores

Eduardo (420) e Caio (346) cobrem mais senas que os outros três, e todos gastam os mesmos R$ 500,00, então a comparação é justa.

Atenção

Mais cartelas não é mais chance: Arthur tem 250 cartelas, mas cada uma cobre 1 sena, e Eduardo cobre 420 com só 2 cartelas. Contar cartelas leva à alternativa D.

Conclusão

Eduardo cobre 420 senas e Caio 346, mais que Douglas, Bruno e Arthur, todos com os mesmos R$ 500,00. Portanto, a alternativa correta é a A.

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