Matemática · caderno azul

Questão 149 do ENEM 2020

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2020:

Marcar para revisar

A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência ( $f$ ) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking ( $r$ ). Ela é dada por

$f = \frac{A}{r^{B}}$

O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, $r = 1$ para a palavra mais frequente, $r = 2$ para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. $A$ e $B$ são constantes positivas.

Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adatpado).

Com base nos valores de $X = \log (r)$ e $Y = \log (f)$ , é possível estimar valores para $A$ e $B$ .

No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre $Y$ e $X$ é

Alternativa A (correta):

Y = \log (A) - B \cdot X

Correta — log f = log A − B · log r: o quociente vira diferença e o expoente B sai multiplicando.

16,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

Y = \frac{\log (A)}{X + \log (B)}

= log A ÷ log r^B; o log de um quociente é uma diferença.

29,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

Y = \frac{\log (A)}{B} - X

Incorreta — dividiu log A por B; o B multiplica X (log r^B = B · X) e não divide log A.

16,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

Y = \frac{\log (A)}{B \cdot X}

Incorreta — fez log(A / r^

20,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

Y = \frac{\log (A)}{X^{B}}

Incorreta — dividiu log A por (log r)^B; o log de uma potência não vira potência de um log.

16,3% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2020

Acerto no Brasil: 16,3%
Errada mais marcada: B, 29,8%
Nível na TRI: cerca de 870

Deixar para o fim Só 16% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2020 (INEP) · 2.507.193 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Propriedades de log e manipulações
Habilidade do ENEM: H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

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Questões parecidas: propriedades de log e manipulações em outras provas

O que você precisa saber

• Log do quociente: log(a ÷ b) = log a − log b
• Log da potência: log(b^n) = n · log b
• Trocar log(r) por X e log(f) por Y

Ideia da questão

A questão quer a relação entre os logaritmos de f e de r quando a lei de Zipf vale exatamente. Aplique o log nos dois lados e use as propriedades do quociente e da potência.

Resolução passo a passo

Passo 1 Aplicar o logaritmo na lei

A lei é um quociente. Aplica-se o logaritmo nos dois lados da igualdade:

f

= \frac{A}{r^{B}}

\log (f)

= \log \frac{A}{r^{B}}

log nos dois lados

Passo 2 Separar o quociente

O logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos:
$\log (f) = \log (A) - \log (r^{B})$

Atenção

Não use log(A) ÷ log $r^{B}$ : o log de um quociente é uma diferença, e não um quociente de logs.

Passo 3 Tirar o expoente

Em $\log (r^{B})$ , o expoente B sai multiplicando o logaritmo de r:
$\begin{aligned} \log (r^{B}) & = B \cdot \log (r) \\ \log (f) & = \log (A) - B \cdot \log (r) \end{aligned}$

Passo 4 Trocar por X e Y

Com $X = \log (r)$ e $Y = \log (f)$ , a relação fica:
$Y = \log (A) - B \cdot X$

Conclusão

Com $X = \log (r)$ e $Y = \log (f)$ , a lei vira uma reta de coeficiente angular $- B$ e termo constante $\log (A)$ . Portanto, a alternativa correta é a A.

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