Matemática · caderno azul

Questão 165 do ENEM 2010

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2010:

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Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.

Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função

Figura da questão 165 do ENEM 2010 (Função por partes: interpretação de gráfico ou tabela)

em que $T$ é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e $t$ é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C.

O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a

Alternativa A: 100.

Incorreta — 100 min é o instante em que a fórmula muda, não o tempo que a peça fica no forno.

17,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 108.

Incorreta — usa a 1ª fórmula para os 200 °C (t ≈ 128) e tira a entrada: 128 − 20.

23,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 128.

Incorreta — resolve 200 °C na 1ª fórmula e acha t ≈ 128, mas ela só vale até t = 100.

27,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D (correta): 130.

Correta — a peça entra em t = 20, sai em t = 150 e fica 150 − 20 = 130 min.

17,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 150.

Incorreta — 150 min é o instante da saída, e falta tirar os 20 min até a peça entrar.

13,2% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2010

Acerto no Brasil: 17,9%
Errada mais marcada: C, 27,0%
Nível na TRI: cerca de 970

Deixar para o fim Só 18% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2010 (INEP) · 3.247.403 participantes · 0,6% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra D · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Função por partes: interpretação de gráfico ou tabela · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H21: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

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Questões parecidas: função por partes: interpretação de gráfico ou tabela em outras provas

O que você precisa saber

• Função por partes: cada fórmula vale no seu intervalo de t
• Equação do 2º grau: resolver e descartar a raiz fora do trecho
• Tempo no forno = instante de saída − instante de entrada

Ideia da questão

A questão quer o tempo entre o instante em que o forno marca 48 °C e o instante em que marca 200 °C. Ache cada instante na fórmula do seu trecho e subtraia.

Resolução passo a passo

Passo 1 Escolher os trechos

A temperatura começa em 20 °C, e em $t = 100$ a 1ª fórmula dá:
$\begin{aligned} \frac{7}{5} \cdot 100 + 20 \\ = 140 + 20 \\ = 160 \end{aligned}$
Como 48 °C é menor que 160 °C, a entrada ocorre no 1º trecho. Como 200 °C é maior que 160 °C, a saída ocorre no 2º trecho.

Atenção

A 1ª fórmula só vale até $t = 100$ . Usá-la para 200 °C dá $t \approx 128, 6$ , fora do trecho.

Passo 2 Achar o instante de entrada

Na 1ª fórmula, a temperatura de 48 °C dá:

\frac{7}{5} t + 20

= 48

\frac{7}{5} t

= 28

−20 nos dois lados

7 t

= 140

× 5 nos dois lados

t

= 20

: 7 nos dois lados

Passo 3 Achar o instante de saída

Na 2ª fórmula, a temperatura de 200 °C leva a uma equação do 2º grau.

\frac{2}{125} t^{2} - \frac{16}{5} t + 320

= 200

\frac{2}{125} t^{2} - \frac{16}{5} t + 120

= 0

−200 nos dois lados

t^{2} - 200 t + 7 500

= 0

× 125 : 2 nos dois lados

Δ

= 200^{2} - 4 \cdot 7 500

= 40 000 - 30 000

= 10 000

t

= \frac{200 \pm 100}{2}

t_{1}

= 150

t_{2}

= 50

Observação

Sem calculadora: procure dois números que somam 200 e multiplicam 7 500. São 150 e 50.

Como o 2º trecho vale para $t \geq 100$ , a raiz $t = 50$ não serve, e a saída é em $t = 150$ .

Passo 4 Calcular a permanência

A peça fica no forno do instante de entrada ao de saída.
$\begin{aligned} 150 - 20 \\ = 130 \end{aligned}$

Conclusão

A peça entra no forno em t = 20 min e sai em t = 150 min, ficando 130 minutos dentro dele. Portanto, a alternativa correta é a D.

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