Matemática · caderno azul

Questão 161 do ENEM 2010

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2010:

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Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

Figura geométrica, na questão 161 do ENEM 2010

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.

Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

Alternativa A: à mesma área do triângulo AMC.

Incorreta — AM é mediana e divide ABC ao meio, então AMC vale 1/2 de ABC, e a região vale 3/4.

12,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: à mesma área do triângulo BNC.

Incorreta — BN também é mediana, então BNC vale 1/2 de ABC, menos que os 3/4 da região.

12,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: à metade da área formada pelo triângulo ABC.

Incorreta — a região ABMN é 3/4 de ABC, porque MNC ocupa só 1/4 e não a outra metade.

22,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: ao dobro da área do triângulo MNC.

Incorreta — o dobro de MNC é 2/4, que é 1/2 de ABC, e a região vale 3/4.

29,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta): ao triplo da área do triângulo MNC.

Correta — MNC vale 1/4 de ABC, e a região ABMN vale 3/4, o triplo de MNC.

22,5% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2010

Acerto no Brasil: 22,5%
Errada mais marcada: D, 29,5%
Nível na TRI: cerca de 710

Microdados do ENEM 2010 (INEP) · 3.247.403 participantes

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Áreas de triângulos e quadriláteros, incluindo malha e decomposição
Habilidade do ENEM: H7: Identificar características de figuras planas ou espaciais.

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Questões parecidas: áreas de triângulos e quadriláteros, incluindo malha e decomposição em outras provas

O que você precisa saber

• Pontos médios: o segmento que os liga é paralelo e tem metade
• Razão 1/2 nos lados dá 1/4 nas áreas
• Área de uma parte = fração do todo

Ideia da questão

A questão quer comparar a área da região ABMN com a de triângulos da figura. Veja que MNC é uma cópia reduzida de ABC, ache a fração de ABC que ele ocupa e tire do todo.

Resolução passo a passo

Passo 1 Reconhecer a semelhança

M e N são pontos médios de BC e AC, então MN é paralelo a AB e mede metade dele. O triângulo MNC é semelhante ao ABC, com razão de semelhança $\frac{1}{2}$ .

Passo 2 Calcular a área de MNC

A razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados.
$\begin{aligned} (\frac{1}{2})^{2} \\ = \frac{1}{4} \end{aligned}$

Atenção

Não use $\frac{1}{2}$ como razão das áreas: a região sairia igual à metade de ABC, e a resposta ficaria errada.

Passo 3 Achar a área da região

A região ABMN é o triângulo ABC sem o triângulo MNC. Tomando a área de ABC como 1:
$\begin{aligned} 1 - \frac{1}{4} \\ = \frac{3}{4} \end{aligned}$
Como MNC vale $\frac{1}{4}$ , a região vale 3 vezes a área de MNC.

Conclusão

A região ABMN ocupa $\frac{3}{4}$ do triângulo ABC, enquanto MNC ocupa $\frac{1}{4}$ , então a região vale o triplo da área de MNC. Portanto, a alternativa correta é a E.

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