Matemática · caderno azul

Questão 168 do ENEM 2010

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2010:

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Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

Figura espacial, na questão 168 do ENEM 2010

Considere:

Figura da questão 168 do ENEM 2010 (Volume de cones)

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de

Alternativa A: 1,33.

Incorreta — essa altura enche só 4π cm³ do cone, bem menos que os 18π cm³ do hemisfério.

22,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta): 6,00.

Correta — o hemisfério tem 18π cm³, e o cone de raio 3 cm precisa dessa mesma quantidade.

32,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 12,00.

Incorreta — usa o volume da esfera inteira (36π) em vez do hemisfério, e a altura dobra.

26,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 56,52.

Incorreta — é o volume do hemisfério, 18 × 3,14, tratado como se fosse a altura.

13,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 113,04.

Incorreta — é o volume da esfera inteira, 36 × 3,14, tratado como se fosse a altura.

6,0% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2010

Acerto no Brasil: 32,0%
Errada mais marcada: C, 26,0%
Nível na TRI: cerca de 930

Microdados do ENEM 2010 (INEP) · 3.247.403 participantes

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Volume de cones
Habilidade do ENEM: H8: Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

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Questões parecidas: volume de cones em outras provas

O que você precisa saber

• Volume da esfera $\frac{4}{3} π R^{3}$ ; o hemisfério é metade dela
• Volume do cone $\frac{1}{3} π R^{2} h$
• Mesmo volume: igualar as duas expressões

Ideia da questão

A questão quer a altura do champanhe no cone, de modo que ele tenha o mesmo volume do hemisfério cheio. Calcule o volume do hemisfério, que é metade de uma esfera, e iguale ao volume do cone para achar h.

Resolução passo a passo

Passo 1 Calcular o volume do hemisfério

A taça cheia é meia esfera de raio 3 cm, então seu volume é a metade do volume da esfera.
$\begin{aligned} V_{hem} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} π \cdot 3^{3} \\ = \frac{2}{3} π \cdot 3^{3} \\ = 2 π \cdot 3^{2} \\ = 18 π \end{aligned}$

Atenção

Use o volume do hemisfério, e não o da esfera inteira: com 36π a altura dobra, e o resultado seria o da alternativa C.

Passo 2 Escrever o volume do cone

O cone de champanhe tem raio 3 cm e altura h, que é a incógnita.
$\begin{aligned} V_{cone} & = \frac{1}{3} π \cdot 3^{2} \cdot h \\ = 3 π h \end{aligned}$

Passo 3 Igualar os volumes

Os dois volumes são iguais, e o π aparece dos dois lados da igualdade.

3 π h

= 18 π

: \pi nos dois lados

3 h

= 18

: 3 nos dois lados

h

= 6

Conclusão

O cone precisa de 6 cm de altura de champanhe para ter o mesmo volume do hemisfério cheio. Portanto, a alternativa correta é a B.

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