Matemática · caderno azul

Questão 174 do ENEM 2018

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2018:

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Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.

Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm² de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).

Considere 0,30 como aproximação para $\log_{10} 2$ .

Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

Alternativa A: 1999

Incorreta — Em 1999, com 6,5 períodos de 2 anos, a densidade seria só de cerca de 36 milhões.

10,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 2002

Incorreta — Em 2002, com 8 períodos de 2 anos, a densidade seria só de cerca de 100 milhões.

16,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C (correta): 2022

Correta — após 18 períodos de 2 anos (36 anos), a densidade chega a 100 bilhões.

28,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 2026

Incorreta — Usou os 100 000 transistores sem dividir pela área de 0,25 cm²: dá 20 períodos, 40 anos.

31,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 2146

Incorreta — Em 2146, com 80 períodos de 2 anos, a densidade passaria de $10^{29}$ , muito além do pedido.

13,2% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2018

Acerto no Brasil: 28,0%
Errada mais marcada: D, 31,5%
Nível na TRI: cerca de 960

Microdados do ENEM 2018 (INEP) · 3.902.487 participantes

Gabarito oficial: letra C · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Propriedades de log e manipulações · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H17: Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.

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O que você precisa saber

• Densidade = quantidade ÷ área
• Dobrar a cada período: $d = d_{0} \cdot 2^{n}$
• $\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$ , $\log a^{n} = n \log a$ e $\log 10^{k} = k$

Ideia da questão

A questão quer o ano em que a densidade de transistores chega a 100 bilhões, sabendo que ela dobra a cada dois anos. Calcule a densidade de 1986, monte $d_{0} \cdot 2^{n} = 10^{11}$ , aplique logaritmo para achar $n$ e converta os períodos em anos.

Resolução passo a passo

Passo 1 Calcular a densidade de 1986

A densidade é o número de transistores por centímetro quadrado, então divida os 100 000 transistores pela área de 0,25 cm²:

d_{0}

= \frac{100 000}{0, 25}

= 100 000 \cdot 4

1 : 0,25 = 4

= 400 000

= 4 \cdot 10^{5}

Atenção

Não use os 100 000 transistores direto: sem dividir pela área, a conta dá 40 anos e leva à alternativa D.

Passo 2 Montar a equação da meta

A densidade dobra a cada 2 anos, então após $n$ períodos de 2 anos ela vale $d_{0} \cdot 2^{n}$ . A meta, 100 bilhões, é $10^{11}$ :
$\begin{aligned} 4 \cdot 10^{5} \cdot 2^{n} & = 10^{11} \\ 2^{n} & = \frac{10^{11}}{4 \cdot 10^{5}} \\ = \frac{{10^{11}}^{10^{6}}}{4 \cdot {10^{5}}_{1}} \\ = \frac{10^{6}}{4} \end{aligned}$

Passo 3 Aplicar o logaritmo

Aplique $\log$ dos dois lados e use $\log 2 = 0, 3$ , com $4 = 2^{2}$ :

\log 2^{n}

= \log \frac{10^{6}}{2^{2}}

n \cdot \log 2

= \log 10^{6} - \log 2^{2}

log da divisão

n \cdot 0, 3

= 6 - 2 \cdot 0, 3

log 10⁶ = 6

n \cdot 0, 3

= 5, 4

n

= 18

: 0,3 nos dois lados

Observação

Sem calculadora: $5, 4 \div 0, 3 = 54 \div 3 = 18$ .

Passo 4 Converter os períodos em anos

Cada período tem 2 anos, e a contagem começa em 1986:
$\begin{aligned} 18 \cdot 2 & = 36 \\ 1986 + 36 & = 2022 \end{aligned}$

Conclusão

A densidade chega a 100 bilhões após 18 períodos de 2 anos, ou seja, 36 anos depois de 1986. Portanto, a alternativa correta é a C.

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