Questão 139 do ENEM 2018

Medindo os ângulos a partir do eixo $x$, $A$ está na circunferência de raio 6, sobre a semirreta de 30°; $B$ está na de raio 3, sobre a de 150°. O arco entre elas é de 120° (um terço da circunferência). Para $r\le 3$, a distância é:
$$\begin{array}{rl}d& =\frac{2\pi r}{3}+(3-r)+(6-r)\\ & =\frac{2\pi r}{3}+9-2r\end{array}$$

Cada unidade a mais no raio soma $\frac{2\pi }{3}$, cerca de 2,09, ao arco e tira 2 dos trechos retos. Como 2,09 passa de 2, vale descer o máximo possível; como não se pode passar pela origem, o menor trajeto usa $r=1$.
$$\begin{array}{rl}d& =\frac{2\pi \cdot 1}{3}+(3-1)+(6-1)\\ & =\frac{2\pi \cdot 1}{3}+2+5\\ & =\frac{2\pi \cdot 1}{3}+7\end{array}$$
Portanto, a alternativa correta é a B.

Medindo os ângulos a partir da avenida reta que sai de $O$ para a direita, $P$ está no anel de 5 km, sobre a avenida de 45°; $Q$ está no de 3 km, sobre a de 180°. O arco entre elas é de 135°, que é $\frac{3}{8}$ da volta. Para $r\le 3$, a distância é:
$$\begin{array}{rl}d& =\frac{3}{8}\cdot 2\pi r+(5-r)+(3-r)\\ & =\frac{3\pi r}{4}+8-2r\end{array}$$

Cada km a mais no raio soma $\frac{3\pi }{4}$, cerca de 2,36, ao arco e tira 2 dos trechos retos. Como 2,36 passa de 2, vale descer o máximo possível; como não se pode passar pela praça, o menor trajeto usa $r=1$.
$$\begin{array}{rl}d& =\frac{3\pi \cdot 1}{4}+(5-1)+(3-1)\\ & =\frac{3\pi \cdot 1}{4}+4+2\\ & =\frac{3\pi \cdot 1}{4}+6\end{array}$$
Portanto, a alternativa correta é a C.