Matemática · caderno azul

Questão 175 do ENEM 2013

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2013:

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Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

Figura no plano cartesiano, na questão 175 do ENEM 2013

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.

O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

Alternativa A: (65 ; 35).

Incorreta — é o ponto médio de B e C: dista 15,8 km deles, mas 38,1 km de A.

13,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: (53 ; 30).

Incorreta — é a média das coordenadas (baricentro): dista 25,1 km de A, 19,7 km de B e 21,2 km de C.

16,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: (45 ; 35).

Incorreta — é o ponto médio de A e C: dista 21,2 km deles, mas 29,2 km de B.

16,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: (50 ; 20).

Incorreta — dista 20 km de A e de B, mas 31,6 km de C.

20,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta): (50 ; 30).

Correta — fica a cerca de 22,4 km das três antenas.

32,9% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2013

Acerto no Brasil: 32,9%
Errada mais marcada: D, 20,4%
Nível na TRI: cerca de 670

Microdados do ENEM 2013 (INEP) · 5.026.121 participantes

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Distância entre dois pontos
Habilidade do ENEM: H22: Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

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Questões parecidas: distância entre dois pontos em outras provas

O que você precisa saber

• Distância entre dois pontos: d² = Δx² + Δy²
• A e B na mesma altura: o ponto equidistante tem x = média dos x
• Igualar duas distâncias e resolver a equação

Ideia da questão

A questão quer o ponto que fica à mesma distância de A, B e C. Ache o x pelo meio de A e B, que têm a mesma altura, e o y igualando as distâncias a A e a C.

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar x pelo ponto médio

Na figura, A(30, 20), B(70, 20) e C(60, 50). A e B estão na mesma altura, então os pontos à mesma distância de A e de B ficam na vertical que passa pelo ponto médio de AB.
$\begin{aligned} x & = \frac{30 + 70}{2} \\ = 50 \end{aligned}$

Passo 2 Igualar as distâncias

O ponto procurado é $P (50, y)$ . Escreve-se o quadrado da distância de $P$ a $A$ e a $C$ e igualam-se os dois.
$20^{2} + (y - 20)^{2} = 10^{2} + (y - 50)^{2}$

Passo 3 Resolver a equação para y

Desenvolvem-se os quadrados e o $y^{2}$ se cancela dos dois lados.

400 + y^{2} - 40 y + 400

= 100 + y^{2} - 100 y + 2 500

y^{2} - 40 y + 800

= y^{2} - 100 y + 2 600

- 40 y + 800

= - 100 y + 2 600

−y² nos dois lados

60 y

= 1 800

+100y −800 nos dois lados

y

= 30

: 60 nos dois lados

Observação

Confira: de $(50, 30)$ a $B (70, 20)$ , o quadrado da distância é $20^{2} + 10^{2} = 500$ , igual ao de A e ao de C.

Atenção

Pontos médios de lados e o ponto das médias das coordenadas, como (53 ; 30), não ficam à mesma distância das três antenas.

Conclusão

O ponto (50 ; 30) fica a cerca de 22 km de cada uma das três antenas. Portanto, a alternativa correta é a E.

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