Matemática · caderno azul

Questão 153 do ENEM 2013

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2013:

Marcar para revisar

Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:

Alternativa A:

S = k \cdot M

Incorreta — Ignorou o cubo de S e o quadrado de M, e fez S proporcional a M.

21,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

S = k \cdot M^{\frac{1}{3}}

Incorreta — Não tirou a raiz de k e esqueceu o quadrado de M: ficou $M^{1 / 3}$ , não $M^{2 / 3}$ .

17,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{\frac{1}{3}}

Incorreta — Aplicou a raiz cúbica a k e a M, mas perdeu o quadrado: $M^{2}$ vira $M^{2 / 3}$ , não $M^{1 / 3}$ .

16,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D (correta):

S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{\frac{2}{3}}

Correta — De $S^{3} = k M^{2}$ , a raiz cúbica dos dois lados dá a expressão com k e M elevados a potências fracionárias.

18,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{2}

Incorreta — Aplicou a raiz cúbica só a k, e deixou $M^{2}$ de fora da raiz.

25,5% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2013

Acerto no Brasil: 18,8%
Errada mais marcada: E, 25,5%
Nível na TRI: cerca de 710

Deixar para o fim Só 19% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2013 (INEP) · 5.026.121 participantes

Gabarito oficial: letra D · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Proporcionalidade com potências · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

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Questões parecidas: proporcionalidade com potências em outras provas

O que você precisa saber

• Proporcional: o cubo de S é k vezes o quadrado de M
• Raiz cúbica é o expoente $\frac{1}{3}$ , e $(a^{m})^{n} = a^{m n}$

Ideia da questão

A questão quer escrever S sozinho a partir de uma relação entre S³ e M². Monte a igualdade com a constante k e tire a raiz cúbica dos dois lados, inclusive de M².

Resolução passo a passo

Passo 1 Traduzir a frase

“O cubo da área S é proporcional ao quadrado da massa M” significa que $S^{3}$ é igual a uma constante k vezes $M^{2}$ .
$S^{3} = k \cdot M^{2}$

Passo 2 Tirar a raiz cúbica

Para sair do cubo, tira-se a raiz cúbica dos dois lados, que é elevar tudo a $\frac{1}{3}$ .

S

= (k \cdot M^{2})^{\frac{1}{3}}

raiz cúbica nos dois lados

Passo 3 Distribuir o expoente

O expoente $\frac{1}{3}$ vale para cada fator do parêntese, e em $M^{2}$ os expoentes se multiplicam.

S

= k^{\frac{1}{3}} \cdot (M^{2})^{\frac{1}{3}}

= k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{\frac{2}{3}}

2 · 1/3 = 2/3

Atenção

O expoente $\frac{1}{3}$ vale para k e para $M^{2}$ . Aplicá-lo só a k leva à alternativa E, e esquecer o quadrado de M, à C.

Conclusão

Com a raiz cúbica dos dois lados, a área fica $k^{1 / 3} \cdot M^{2 / 3}$ . Portanto, a alternativa correta é a D.

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