Matemática · caderno azul

Questão 164 do ENEM 2010

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2010:

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Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.

Figura espacial, na questão 164 do ENEM 2010

O raio da perfuração da peça é igual a

Alternativa A: 1 cm.

Incorreta — divide a área 24 pelo perímetro 24, em vez do semiperímetro 12, e acha 1.

7,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta): 2 cm.

Correta — o raio do círculo inscrito é (6 + 8 − 10) ÷ 2 = 2, ou área ÷ semiperímetro, 24 ÷ 12.

25,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 3 cm.

Incorreta — toma o lado de 6 cm como diâmetro do furo, mas o círculo fica dentro do triângulo.

24,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 4 cm.

Incorreta — toma o lado de 8 cm como diâmetro do furo, mas o círculo fica dentro do triângulo.

25,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 5 cm.

Incorreta — toma a hipotenusa de 10 cm como diâmetro, o que não cabe no triângulo de lados 6 e 8.

16,7% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2010

Acerto no Brasil: 25,4%
Errada mais marcada: D, 25,0%
Nível na TRI: cerca de 830

Microdados do ENEM 2010 (INEP) · 3.247.403 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Circunferência: tangência · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H9: Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

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Questões parecidas: circunferência: tangência em outras provas

O que você precisa saber

• Triângulo retângulo: $6^{2} + 8^{2} = 10^{2}$
• Círculo tangente aos três lados: círculo inscrito
• Segmentos tangentes de um mesmo ponto são iguais

Ideia da questão

A questão quer o raio do furo, que é o círculo inscrito no triângulo da base. Use os segmentos tangentes: do vértice do ângulo reto até os pontos de contato, cada um mede o raio.

Resolução passo a passo

Passo 1 Reconhecer a base

A base é um triângulo de lados 6, 8 e 10 cm, e $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10^{2}$ , então é um triângulo retângulo com catetos 6 e 8. O furo, tangente aos três lados, é o círculo inscrito nesse triângulo.

Atenção

O círculo fica dentro do triângulo: não use um lado como diâmetro. Os lados 6, 8 e 10 dariam raios 3, 4 e 5.

Passo 2 Usar os segmentos tangentes

No vértice do ângulo reto, os dois segmentos até os pontos de contato medem $r$ , pois formam um quadrado com o centro. Sobram $6 - r$ e $8 - r$ nos catetos, e esses pedaços tangentes somam a hipotenusa.

(6 - r) + (8 - r)

= 10

14 - 2 r

= 10

soma 6 + 8

- 2 r

= - 4

−14 nos dois lados

r

= 2

: (−2) nos dois lados

Passo 3 Conferir pela área

O raio também é a área do triângulo dividida pelo semiperímetro.
$\begin{aligned} \frac{6 \cdot 8 : 2}{(6 + 8 + 10) : 2} \\ = \frac{24}{12} \\ = 2 \end{aligned}$

Conclusão

A circunferência inscrita no triângulo de lados 6, 8 e 10 cm tem 2 cm de raio, que é o raio da perfuração. Portanto, a alternativa correta é a B.

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