Matemática · caderno azul

Questão 160 do ENEM 2010

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2010:

Marcar para revisar

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.

Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.

Figura geométrica, na questão 160 do ENEM 2010

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

Alternativa A: 1,8 km

Incorreta — 1,8 km é só a distância horizontal do 1º observador, e a altura sai da tangente.

17,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 1,9 km

Incorreta — trata os 3,7 km como hipotenusa de um ângulo de 30° (3,7 × 0,5 ≈ 1,9).

17,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C (correta): 3,1 km

Correta — a altura é o cateto oposto a 60°: 1,8 × tg 60° ≈ 1,8 × 1,73 ≈ 3,1 km.

25,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 3,7 km

Incorreta — 3,7 km é a distância entre as duas pessoas, e não a altura do balão.

22,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 5,5 km

Incorreta — 5,5 km (1,8 + 3,7) é a distância do 2º observador à vertical, não a altura.

16,2% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2010

Acerto no Brasil: 25,8%
Errada mais marcada: D, 22,1%
Nível na TRI: cerca de 750

Microdados do ENEM 2010 (INEP) · 3.247.403 participantes

Gabarito oficial: letra C · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Razões trigonométricas, incluindo medidas indiretas
Habilidade do ENEM: H8: Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

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Questões parecidas: razões trigonométricas, incluindo medidas indiretas em outras provas

O que você precisa saber

• Tangente: cateto oposto ÷ cateto adjacente
• $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1, 73$
• Separar distâncias horizontais da altura na figura

Ideia da questão

A questão quer a altura do balão, o cateto vertical do triângulo retângulo formado com o primeiro observador. Use a tangente de 60° com os 1,8 km de distância horizontal.

Resolução passo a passo

Passo 1 Montar o triângulo

O primeiro observador, o ponto no chão abaixo do balão e o balão formam um triângulo retângulo. O ângulo de 60° fica no observador, o cateto adjacente mede 1,8 km e a altura $h$ é o cateto oposto.

Atenção

Nenhuma distância da figura é a altura: 3,7 km separa as duas pessoas e 5,5 km (1,8 + 3,7) é a distância da segunda até a vertical.

Passo 2 Escrever a tangente

A tangente liga o cateto oposto ao adjacente, e isola-se a altura.

\tan 60^{\circ}

= \frac{h}{1, 8}

h

= 1, 8 \cdot \tan 60^{\circ}

× 1,8 nos dois lados

Passo 3 Calcular a altura

Como $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1, 73$ :
$\begin{aligned} h & \approx 1, 8 \cdot 1, 73 \\ \approx 3, 1 km \end{aligned}$

Observação

Sem calculadora: $1, 8 \times 1, 7 = 3, 06$ , então com 1,73 a altura fica um pouco acima de 3 km.

Conclusão

A altura do balão é o cateto oposto ao ângulo de 60°, cerca de 3,1 km. Portanto, a alternativa correta é a C.

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