Matemática · caderno azul

Questão 153 do ENEM 2018

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2018:

Marcar para revisar

A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.

Figura da questão 153 do ENEM 2018 (Áreas de círculo, setor e coroa)

O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos $A$ e $B$ , conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta $A B$ : 16 m.

Figura geométrica, na questão 153 do ENEM 2018

Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.

A medida encontrada pelo engenheiro foi

Alternativa A:

4 π

Incorreta — Corresponde a $R^{2} - r^{2} = 4$ , mas o triângulo de cateto 8 dá $R^{2} - r^{2} = 64$ .

17,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

8 π

Incorreta — Calculou $π \cdot 8$ : o cateto 8 entra elevado ao quadrado, $R^{2} - r^{2} = 8^{2}$ .

28,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

48 π

Incorreta — Equivale a $8^{2} - 4^{2}$ : tomou 8 e 4 como os raios, sem usar Pitágoras no triângulo.

22,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D (correta):

64 π

Correta — $R^{2} - r^{2} = 8^{2} = 64$ , e a área da coroa é $64 π$ .

25,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

192 π

Incorreta — Equivale a $16^{2} - 8^{2}$ : tomou a corda inteira, 16, como raio maior.

5,9% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2018

Acerto no Brasil: 25,0%
Errada mais marcada: B, 28,1%
Nível na TRI: cerca de 870

Microdados do ENEM 2018 (INEP) · 3.902.487 participantes

Gabarito oficial: letra D · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Áreas de círculo, setor e coroa · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H8: Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

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Questões parecidas: áreas de círculo, setor e coroa em outras provas

O que você precisa saber

• Raio no ponto de tangência é perpendicular à reta tangente
• Teorema de Pitágoras: $h^{2} = a^{2} + b^{2}$
• Área da coroa circular: $π (R^{2} - r^{2})$

Ideia da questão

A questão quer a área do passeio, a coroa entre os dois círculos, sem conhecer os raios. Monte o triângulo retângulo formado pelo centro, o ponto de tangência e uma ponta da trena, e use Pitágoras para achar $R^{2} - r^{2}$ .

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar a metade da corda

O raio que chega ao ponto de tangência é perpendicular à corda $A B$ . Chame de $O$ o centro das duas circunferências e de $M$ o ponto de tangência. Como $O$ é o centro da circunferência maior, a perpendicular a $A B$ por $O$ passa pelo ponto médio de $A B$ , que é $M$ :
$\begin{aligned} A M & = \frac{16}{2} \\ = 8 \end{aligned}$

Atenção

Os 16 m são a corda inteira, e não um raio: usar 16 como raio maior daria $π (16^{2} - 8^{2}) = 192 π$ , alternativa E.

Passo 2 Montar o triângulo retângulo

Seja $R$ o raio da praça e $r$ o do chafariz. O triângulo $O M A$ tem ângulo reto em $M$ : os catetos são $O M = r$ e $A M = 8$ , e a hipotenusa é $O A = R$ .

Passo 3 Aplicar o teorema de Pitágoras

A hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos:

R^{2}

= r^{2} + 8^{2}

R^{2} - r^{2}

= 8^{2}

−r² nos dois lados

R^{2} - r^{2}

= 64

Passo 4 Calcular a área do passeio

O passeio é a coroa entre as duas circunferências, com área igual à da praça menos a do chafariz. Não é preciso achar $R$ e $r$ , só a diferença dos quadrados:

A

= π R^{2} - π r^{2}

= π (R^{2} - r^{2})

π em evidência

= π \cdot 64

= 64 π

Conclusão

A diferença entre os quadrados dos raios é 64, e a área do passeio é $64 π$ m². Portanto, a alternativa correta é a D.

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