Matemática · caderno azul

Questão 137 do ENEM 2018

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2018:

Marcar para revisar

Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente $P$ submetido a juros compostos com taxa $i$ , por um período de tempo $n$ , produz um valor futuro $V$ determinado pela fórmula

$V = P \cdot (1 + i)^{n}$

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para $\ln (\frac{4}{3})$ e 0,0131 como aproximação para $\ln (1,013 2)$ .

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a

Alternativa A: 56ª

Incorreta — Com n = 26 o desconto passa de 25%, mas a 52ª, quatro meses antes, já passava.

17,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 55ª

Incorreta — Com n = 25 o desconto passa de 25%, mas a 52ª, três meses antes, já passava.

20,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C (correta): 52ª

Correta — Com n = 22 meses o desconto passa de 25%; é a primeira parcela assim.

22,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 51ª

Incorreta — Arredonda 21,96 para 21: com 21 meses (parcela 51) o desconto ainda é menor que 25%.

18,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 45ª

Incorreta — Com n = 15 meses o desconto é bem menor que 25% (15 × 0,0131 = 0,1965 < 0,2877).

20,6% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2018

Acerto no Brasil: 22,6%
Errada mais marcada: E, 20,6%

Microdados do ENEM 2018 (INEP) · 3.902.487 participantes

Gabarito oficial: letra C · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Juros compostos: montante e fator · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H18: Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.

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Questões parecidas: juros compostos: montante e fator em outras provas

O que você precisa saber

• Valor presente: $P = \frac{V}{(1 + i)^{n}}$
• $\ln (a^{n}) = n \cdot \ln a$ : o logaritmo tira o expoente
• Inverter os dois lados de uma desigualdade troca o sinal

Ideia da questão

A questão quer a primeira parcela cujo valor presente tem desconto maior que 25%, o que exige achar o menor número de meses de antecipação. Escreva a desigualdade com a potência de 1,0132, use o logaritmo para achar n e some n à 30ª parcela.

Resolução passo a passo

Passo 1 Escrever o desconto como desigualdade

Antecipar a parcela $n$ meses dá o valor presente $P = \frac{V}{(1,013 2)^{n}}$ . O desconto é maior que 25% quando $P$ fica abaixo de 75% de $V$ .
$\begin{aligned} V & = P \cdot (1,013 2)^{n} \\ P & = \frac{V}{(1,013 2)^{n}} \\ \frac{V}{(1,013 2)^{n}} & < 0, 75 V \end{aligned}$

Passo 2 Isolar a potência

Dividem-se os dois lados por $V$ , e 0,75 é $\frac{3}{4}$ . Depois se invertem as frações, o que troca o sentido da desigualdade.

\frac{1}{(1,013 2)^{n}}

< \frac{3}{4}

: V nos dois lados

(1,013 2)^{n}

> \frac{4}{3}

inverte e troca o sinal

Passo 3 Aplicar o logaritmo

O logaritmo dos dois lados tira o expoente $n$ e, com os valores dados, deixa uma divisão.

n \cdot \ln (1,013 2)

> \ln \frac{4}{3}

n \cdot 0,013 1

> 0,287 7

valores dados

n

> \frac{0,287 7}{0,013 1}

n

> 21, 96

Observação

Sem calculadora: 0,0131 × 22 = 0,2882, que passa de 0,2877, e 0,0131 × 21 = 0,2751 não chega.

Passo 4 Achar a parcela

$n$ é um número inteiro de meses e precisa passar de 21,96, então o menor valor é 22. A parcela antecipada vem 22 meses depois da 30ª.
$30 + 22 = 52$

Atenção

Arredondar 21,96 para 21 leva à parcela 51 (alternativa D), mas com 21 meses o desconto ainda não chega a 25%.

Conclusão

São necessários pelo menos 22 meses de antecipação, e a primeira parcela nessas condições é a que vence 22 meses depois da 30ª. Portanto, a alternativa correta é a C.

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