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ENEM 2018 Regular

Matemática · caderno azul

Questão 161 do ENEM 2018

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em

Esta questão em cada caderno do ENEM 2018:

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Deixar para o fimPegadinha

Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.

Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é

Alternativa A: 30.

Incorreta — 30 m é a distância entre os focos; os dois bombeiros mais afastados ficam a 40 m um do outro.

18,9% do Brasil marcou esta alternativa
Alternativa B (correta): 40.

até o foco A, e não entre dois bombeiros.

11,6% do Brasil marcou esta alternativa
Alternativa C: 45.

Incorreta — O maior afastamento é o diâmetro, 40 m; nenhum par de bombeiros chega a 45 m.

15,5% do Brasil marcou esta alternativa
Alternativa D: 60.

Incorreta — 60 m é a distância do bombeiro de fora (a 30 m de

48,7% do Brasil marcou esta alternativa
Alternativa E: 68.

Incorreta — 68 m passa do diâmetro (40 m): dois pontos dessa circunferência nunca ficam mais longe que isso.

4,9% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2018

Acerto no Brasil
11,6%
Errada mais marcada
D, 48,7%
Nível na TRI
cerca de 950

Deixar para o fim Só 12% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Pegadinha A alternativa D atraiu 49% do Brasil, mais que a certa (12%). Antes de marcar, releia o que a pergunta pede.

Microdados do ENEM 2018 (INEP) · 3.902.487 participantes

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Habilidade do ENEM
H22: Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

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Questões parecidas: circunferência no plano: centro e raio em outras provas

O que você precisa saber

• Pontos com razão de distâncias constante formam uma circunferência
• Maior distância entre dois pontos de uma circunferência: o diâmetro
• Montar equação com o dobro: PA = 2 · PB

Ideia da questão

A questão quer a maior distância entre dois pontos com PA sempre o dobro de PB, e esses pontos formam uma circunferência. Ache os dois pontos desse lugar sobre a reta AB e some as distâncias deles a B: esse é o diâmetro.

Resolução passo a passo

Passo 1 Identificar o lugar dos bombeiros

Os pontos com PA=2⋅PB formam uma circunferência, e a maior distância entre dois pontos dela é o diâmetro. Pela simetria, o diâmetro fica sobre a reta AB, entre os dois pontos dessa reta que cumprem a condição.

Passo 2 Achar o ponto interno

Entre os focos, PA+PB=30 e PA=2⋅PB.

2PB+PB=30PA = 2PB3PB=30PB=10: 3 nos dois lados

Passo 3 Achar o ponto externo

Depois de B, o ponto Q está mais longe de A: QA=QB+30 e QA=2⋅QB.

QB+30=2QBQA = 2QB30=QB− QB nos dois lados

Passo 4 Calcular o diâmetro

O ponto P fica a 10 m de B, de um lado, e Q a 30 m de B, do outro: a distância entre eles é a soma.
PQ=10+30=40 m

Atenção

O bombeiro de fora está a 60 m do foco A, mas a maior distância entre dois bombeiros é o diâmetro, 40 m, e não 30 nem 60.

Conclusão

Os dois pontos extremos ficam a 10 m e a 30 m de B, em lados opostos, e a distância entre eles, 40 m, é o diâmetro da circunferência. Portanto, a alternativa correta é a B.

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