Matemática · caderno azul

Questão 164 do ENEM 2020 PPL

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2020:

Marcar para revisar

Dois atletas partem de pontos, respectivamente $P_{1}$ e $P_{2}$ , em duas pistas planas distintas, conforme a figura, deslocando-se no sentido anti-horário até a linha de chegada, percorrendo, desta forma, a mesma distância ( $L$ ). Os trechos retos dos finais das curvas até a linha de chegada desse percurso têm o mesmo comprimento ( $l$ ) nas duas pistas e são tangentes aos trechos curvos, que são semicírculos de centro $C$ . O raio do semicírculo maior é $R_{1}$ e o raio do semicírculo menor é $R_{2}$ .

Figura geométrica, na questão 164 do ENEM 2020 PPL

Sabe-se que o comprimento de um arco circular é dado pelo produto do seu raio pelo ângulo, medido em radiano, subtendido pelo arco.

Nas condições apresentadas, a razão da medida do ângulo $P_{2} \hat{C} P_{1}$ pela diferença $L - l$ é dada por

Alternativa A:

R_{2} - R_{1}

Incorreta — é uma diferença de raios (comprimento); o ângulo vem de dividir o arco pelo raio.

13,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}}

Incorreta — inverte a subtração: o ângulo de $R_{2}$ é maior, então $α_{2} - α_{1}$ é positivo.

20,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C (correta):

\frac{1}{R_{2}} - \frac{1}{R_{1}}

Correta — é o ângulo do arco de $R_{2}$ menos o do arco de $R_{1}$ , dividido por $L - l$ .

23,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

\frac{1}{R_{2} - R_{1}}

Incorreta — subtrai os raios antes de dividir, mas cada ângulo é o arco dividido pelo seu raio.

26,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}

Incorreta — soma os dois ângulos, mas $P_{2} \hat{C} P_{1}$ é a diferença entre eles.

15,7% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2020

Acerto no Brasil: 23,3%
Errada mais marcada: D, 26,0%
Nível na TRI: cerca de 900

Microdados do ENEM 2020 (INEP) · 62.306 participantes

Gabarito oficial: letra C · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Comprimento de circunferência e arco
Habilidade do ENEM: H15: Identificar a relação de dependência entre grandezas.

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Questões parecidas: comprimento de circunferência e arco em outras provas

O que você precisa saber

• Arco = raio × ângulo (em radiano)
• Distância = arco da curva + trecho reto
• Ângulo entre dois raios = diferença dos ângulos de cada um

Ideia da questão

A questão quer o ângulo entre os dois pontos de partida, comparado com o arco curvo que cada atleta percorre. Escreva o ângulo de cada arco como arco ÷ raio e subtraia um do outro.

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar o arco da pista

Cada atleta percorre a distância L, formada pelo arco do semicírculo e pelo trecho reto de comprimento l. Como L e l são iguais nas duas pistas, o arco também é igual nas duas.
$s = L - l$

Passo 2 Escrever o ângulo do arco

O arco é o produto do raio pelo ângulo, então o ângulo é o arco dividido pelo raio. Cada ângulo é medido do ponto de partida até o fim da curva, que fica na mesma posição nas duas pistas.
$\begin{aligned} α_{1} & = \frac{s}{R_{1}} \\ α_{2} & = \frac{s}{R_{2}} \end{aligned}$

Passo 3 Relacionar com o ângulo P2CP1

Os dois arcos terminam no mesmo raio, então o ângulo entre as partidas é a diferença entre os dois ângulos. A pista de raio menor tem o ângulo maior, pois o mesmo arco cabe em um círculo menor.
$\begin{aligned} P_{2} \hat{C} P_{1} & = α_{2} - α_{1} \\ = \frac{s}{R_{2}} - \frac{s}{R_{1}} \end{aligned}$

Atenção

Mantenha a ordem da subtração: $α_{2} - α_{1}$ , com o maior primeiro. Trocar a ordem leva ao sinal invertido da alternativa B.

Passo 4 Dividir por L − l

A razão pedida divide o ângulo pelo arco s = L − l, e o s se cancela.

\frac{P_{2} \hat{C} P_{1}}{s}

= \frac{\frac{s}{R_{2}} - \frac{s}{R_{1}}}{s}

= \frac{s}{R_{2} s} - \frac{s}{R_{1} s}

divide cada termo por s

= \frac{1}{R_{2}} - \frac{1}{R_{1}}

Conclusão

O ângulo entre as partidas é a diferença dos ângulos dos dois arcos, e, dividido por $L - l$ , dá $\frac{1}{R_{2}} - \frac{1}{R_{1}}$ . Portanto, a alternativa correta é a C.

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