Matemática · caderno azul

Questão 154 do ENEM 2015

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2015:

Marcar para revisar

Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação $y = \log (x)$ , conforme a figura.

Figura no plano cartesiano, na questão 154 do ENEM 2015

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo $x$ sempre divida ao meio a altura $h$ do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo $x$ . Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura $h$ do vidro em função da medida $n$ de sua base, em metros.

A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

Alternativa A:

\log (\frac{n + \sqrt{n^{2} + 4}}{2}) - \log (\frac{n - \sqrt{n^{2} + 4}}{2})

Incorreta — usou as duas raízes como abscissas, mas a raiz com −√ é negativa e não tem logaritmo.

15,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

\log (1 + \frac{n}{2}) - \log (1 - \frac{n}{2})

Incorreta — supôs as pontas simétricas em x (1 ± n/2); a simetria é em y, com ordenadas ±h/2.

24,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

\log (1 + \frac{n}{2}) + \log (1 - \frac{n}{2})

Incorreta — somou os logaritmos; a soma é log(1 − n²/4), que não passa de zero e nunca seria uma altura.

25,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

\log (\frac{n + \sqrt{n^{2} + 4}}{2})

Incorreta — dá só a parte acima do eixo x (h/2); a altura é o dobro disso.

22,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta):

2 \log (\frac{n + \sqrt{n^{2} + 4}}{2})

Correta — h é o dobro da ordenada da ponta de cima, 2 log b, com b = (n + √(n² + 4))/2.

11,8% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2015

Acerto no Brasil: 11,8%
Errada mais marcada: C, 25,5%

Deixar para o fim Só 12% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2015 (INEP) · 5.618.625 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Propriedades de log e manipulações · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H21: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

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Questões parecidas: propriedades de log e manipulações em outras provas

O que você precisa saber

• log x só existe para x > 0, e log(1/b) = −log b
• Bhaskara em x² − nx − 1 = 0
• Ler as coordenadas de um ponto da curva y = log x

Ideia da questão

A questão quer a altura h do vidro escrita só com n. Use que o eixo x divide h ao meio para ligar as abscissas das pontas e resolva a equação do 2º grau que sai da base n.

Resolução passo a passo

Passo 1 Ler as pontas na figura

Sejam $a$ e $b$ as abscissas das pontas de baixo e de cima. A base mede $n = b - a$ , e, como o eixo $x$ divide $h$ ao meio, as ordenadas das pontas são $h / 2$ e $- h / 2$ .

Passo 2 Relacionar a e b

A ponta de cima está na curva, então $\log b = h / 2$ . Para a de baixo:
$\begin{aligned} \log a & = - \frac{h}{2} \\ = - \log b \\ = \log \frac{1}{b} \\ a & = \frac{1}{b} \end{aligned}$

Passo 3 Montar a equação de b

Com $n = b - a$ e $a = 1 / b$ :

n

= b - \frac{1}{b}

n b

= b^{2} - \frac{b}{b}

× b nos dois lados

n b

= b^{2} - 1

b^{2} - n b - 1

= 0

tudo para um lado

Passo 4 Resolver o 2º grau

Por Bhaskara, o discriminante é $n^{2} + 4$ :
$b = \frac{n \pm \sqrt{n^{2} + 4}}{2}$

Atenção

Descarte a raiz com −√: ela é negativa, e o logaritmo só existe para valores positivos. Usá-la como a outra abscissa leva à alternativa A.

Passo 5 Escrever a altura

A altura é a diferença das ordenadas das pontas:
$\begin{aligned} h & = \log b - \log a \\ = \log b + \log b \\ = 2 \log b \end{aligned}$
Com $b = \frac{n + \sqrt{n^{2} + 4}}{2}$ , a altura é $2 \log \frac{n + \sqrt{n^{2} + 4}}{2}$ .

Conclusão

A altura do vidro é o dobro do logaritmo da abscissa da ponta de cima, que depende só de n. Portanto, a alternativa correta é a E.

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