Matemática · caderno azul

Questão 164 do ENEM 2015

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2015:

Marcar para revisar

Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

Figura da questão 164 do ENEM 2015 (Arranjos)

Disponível em: www.gebh.net. Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado).

O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por

Alternativa A (correta):

\frac{9!}{2!}

e fixa 3 pessoas num grupo e 4 no outro: só 1 440.

21,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

\frac{9!}{7! \times 2!}

Incorreta — dá só 36 formas de escolher 7 das 9 poltronas, sem distribuir as pessoas.

35,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

7!

Incorreta — 7! = 5 040 só ordena as 7 pessoas, como se houvesse 7 poltronas.

18,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

\frac{5!}{2!} \times 4!

Incorreta — separa as poltronas em 5 (baixo) e 4 (cim

13,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

\frac{5!}{4!} \times \frac{4!}{3!}

Incorreta — 5 · 4 = 20 acomoda só 2 pessoas, uma nas 5 poltronas de baixo e outra nas 4 de cima.

11,0% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2015

Acerto no Brasil: 21,0%
Errada mais marcada: B, 35,3%
Nível na TRI: cerca de 910

Pegadinha A alternativa B atraiu 35% do Brasil, mais que a certa (21%). Antes de marcar, releia o que a pergunta pede.

Microdados do ENEM 2015 (INEP) · 5.618.625 participantes

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Arranjos
Habilidade do ENEM: H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

Simulado ENEM 2026 de Matemática

45 questões novas, no estilo do ENEM, com tempo de prova e nota estimada pela TRI no fim. Grátis, sem precisar de conta.

Fazer o simulado

Questões parecidas: arranjos em outras provas

O que você precisa saber

• Princípio da contagem: multiplicar as opções de cada pessoa
• Arranjo: 7 pessoas em 9 lugares = 9!/2!
• Contar poltronas livres na figura

Ideia da questão

A questão quer o número de maneiras de colocar 7 pessoas distintas nas poltronas livres da figura. Conte as poltronas livres e multiplique as opções de cada pessoa, reescrevendo o produto com fatoriais.

Resolução passo a passo

Passo 1 Contar as poltronas livres

As poltronas em branco da figura, fileira por fileira, somam as livres.
$1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 9$

Passo 2 Distribuir as pessoas

Cada pessoa ocupa uma poltrona diferente. A 1ª pessoa tem 9 opções, a 2ª tem 8, e assim por diante, até a 7ª, que tem 3.

Poltronas disponíveis para cada pessoa

1ª pessoa

9

2ª pessoa

8

3ª pessoa

7

4ª pessoa

6

5ª pessoa

5

6ª pessoa

4

7ª pessoa

3

Atenção

Como as pessoas são distintas, a ordem conta: não use $\frac{9!}{7! \times 2!}$ (só escolhe poltronas) nem $7!$ (só ordena as pessoas).

Passo 3 Escrever com fatoriais

O produto 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 é o 9! sem o fator 2!, então se multiplica e se divide por 2!.
$\begin{aligned} \frac{9!}{2!} \\ = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} \\ = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \end{aligned}$

Conclusão

Os 7 familiares ocupam as 9 poltronas livres de 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 maneiras, que equivalem a 9!/2!. Portanto, a alternativa correta é a A.

Desafio imediato

Uma nova questão com o mesmo raciocínio, para ver se você aprendeu.

Disponível no Métria PRO

O desafio fixa a habilidade desta questão e a sua resposta entra no seu mapa de habilidades.

Crie uma conta grátis e abra 3 desafios à sua escolha.

Criar conta grátis

Conhecer o PRO Veja um desafio de exemplo