Matemática · caderno azul

Questão 155 do ENEM 2015

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2015:

Marcar para revisar

Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto $O$ , como mostra a figura.

Figura geométrica, na questão 155 do ENEM 2015

O ponto $O$ indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.

Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em

Alternativa A (correta):

8 π

Correta (gabarito oficial) — a nova antena cobre 16π, e as duas antigas, 2 × 4π: a diferença é a ampliação.

33,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

12 π

Incorreta — subtraiu a área de uma só das antenas antigas: 16π − 4π.

21,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

16 π

Incorreta — 16π é a área toda da nova antena; faltou tirar o que as duas antigas já cobriam.

23,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

32 π

Incorreta — usou os diâmetros (4 e 8) como raios: 64π − 2 · 16π.

14,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

64 π

Incorreta — usou o diâmetro 8 como raio da nova antena e não subtraiu as antigas.

6,9% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2015

Acerto no Brasil: 33,1%
Errada mais marcada: C, 23,7%
Nível na TRI: cerca de 730

Microdados do ENEM 2015 (INEP) · 5.618.625 participantes

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Áreas de círculo, setor e coroa
Habilidade do ENEM: H8: Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

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Questões parecidas: áreas de círculo, setor e coroa em outras provas

O que você precisa saber

• Área do círculo: π · r²
• O diâmetro é o dobro do raio

Ideia da questão

A questão quer saber quanto a área coberta cresce com a antena nova. Ache o raio da nova pela figura e subtraia a área das duas antenas antigas da área dela.

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar o raio novo

Pela figura, a circunferência nova tem centro em O, envolve as duas antigas e toca cada uma em um ponto. Seu diâmetro é a soma dos dois diâmetros antigos, de 4 km cada:

2 R

= 4 + 4

2 R

= 8

R

= 4

: 2 nos dois lados

Atenção

O enunciado diz que a nova circunferência tangencia as menores “externamente”, mas a figura mostra a nova envolvendo as duas (tangência interna). Siga a figura.

Passo 2 Calcular as áreas

Seja $A_{1}$ a área da nova antena e $A_{2}$ a soma das áreas das duas antigas, de raio 2 km:
$\begin{aligned} A_{1} & = π \cdot 4^{2} \\ = 16 π \\ A_{2} & = 2 \cdot π \cdot 2^{2} \\ = 8 π \end{aligned}$

Passo 3 Calcular a ampliação

A ampliação é a diferença entre as duas áreas:
$\begin{aligned} 16 π - 8 π \\ = 8 π \end{aligned}$

Atenção

Subtraia a área das duas antenas antigas: tirar só a de uma delas dá 12π.

Conclusão

A nova antena cobre 16π km², e as duas antigas cobriam 8π km², uma ampliação de 8π km². Portanto, a alternativa correta é a A.

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