Matemática · caderno azul

Questão 172 do ENEM 2020

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2020:

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No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.

Figura espacial, na questão 172 do ENEM 2020

A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto $C$ (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.

Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.

Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de

Alternativa A (correta): 4,00.

Correta — a mangueira de 5 m é a hipotenusa: r² = 5² − 3² = 16, e r = 4 m.

24,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 4,87.

Incorreta — com raio de 4,87 m cada mangueira mediria cerca de 5,72 m, e as 20 passariam de 114 m.

19,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 5,00.

Incorreta — usou a própria mangueira (5 m) como raio, mas ela é a hipotenusa e é maior que o raio.

29,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 5,83.

Incorreta — somou os quadrados: √(5² + 3²) ≈ 5,83; a mangueira é a hipotenusa, e a conta é uma subtração.

15,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 6,26.

Incorreta — com raio de 6,26 m cada mangueira mediria cerca de 6,94 m, e as 20 somariam quase 139 m.

11,2% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2020

Acerto no Brasil: 24,8%
Errada mais marcada: C, 29,0%
Nível na TRI: cerca de 730

Microdados do ENEM 2020 (INEP) · 2.507.193 participantes

Gabarito oficial: letra A

O que você precisa saber

• Teorema de Pitágoras: hipotenusa² = cateto² + cateto²
• Poste, raio e mangueira formam um triângulo retângulo
• Peças iguais: comprimento de cada uma = total ÷ quantidade

Ideia da questão

A questão quer o raio da circunferência no chão, conhecendo a altura do poste e o comprimento de cada mangueira. Divida os 100 m entre as 20 mangueiras e use Pitágoras no triângulo formado por poste, raio e mangueira.

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar o comprimento da mangueira

As 20 mangueiras têm o mesmo comprimento $g$ e somam 100 m:
$\begin{aligned} g & = \frac{100}{20} \\ = \frac{100}{20} \\ = 5 \end{aligned}$

Passo 2 Montar o triângulo retângulo

O poste (3 m), o raio $r$ no chão e uma mangueira formam um triângulo retângulo, com o ângulo reto em C. A mangueira, oposta ao ângulo reto, é a hipotenusa.

Passo 3 Aplicar o teorema de Pitágoras

Com a hipotenusa de 5 m e os catetos $r$ e 3 m:

5^{2}

= r^{2} + 3^{2}

25

= r^{2} + 9

r^{2}

= 16

−9 nos dois lados

r

= 4

Atenção

Não some os quadrados: somar daria $\sqrt{34} \approx 5, 83$ , mas a mangueira é a hipotenusa e o raio é um cateto.

Conclusão

Cada mangueira mede 5 m e, com o poste de 3 m, o raio da circunferência fica com 4 m. Portanto, a alternativa correta é a A.

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Sobre esta questão

Assunto: Teorema de Pitágoras e aplicações · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H14: Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.

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