Matemática · caderno azul

Questão 171 do ENEM 2020

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2020:

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Azulejo designa peça de cerâmica vitrificada e/ou esmaltada usada, sobretudo, no revestimento de paredes. A origem das técnicas de fabricação de azulejos é oriental, mas sua expansão pela Europa traz consigo uma diversificação de estilos, padrões e usos, que podem ser decorativos, utilitários e arquitetônicos.

Disponível em: www.itaucultural.org.br. Acesso em: 31 jul. 2012.

Azulejos no formato de octógonos regulares serão utilizados para cobrir um painel retangular conforme ilustrado na figura.

Figura geométrica, na questão 171 do ENEM 2020

Entre os octógonos e na borda lateral dessa área, será necessária a colocação de 15 azulejos de outros formatos para preencher os 15 espaços em branco do painel. Uma loja oferece azulejos nos seguintes formatos:

1 – Triângulo retângulo isósceles;
2 – Triângulo equilátero;
3 – Quadrado.

Os azulejos necessários para o devido preenchimento das áreas em branco desse painel são os de formato

Alternativa A: 1.

Incorreta — só os triângulos das bordas; faltam os quadrados que ficam entre os octógonos.

7,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 3.

Incorreta — só os quadrados do meio; faltam os 12 triângulos das bordas.

10,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 1 e 2.

Incorreta — o espaço entre octógonos fecha 90°, e não os 60° de um triângulo equilátero; falta o quadrado.

24,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D (correta): 1 e 3.

Correta — entre octógonos sobram 90° (quadrado) e, na borda, 90° e 45° (triângulo retângulo isósceles).

29,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 2 e 3.

Incorreta — leu os triângulos da borda como equiláteros; eles têm ângulos de 90°, 45° e 45°, e o equilátero (60°) não encaixa em nenhum espaço.

26,8% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2020

Acerto no Brasil: 29,6%
Errada mais marcada: E, 26,8%
Nível na TRI: cerca de 750

Microdados do ENEM 2020 (INEP) · 2.507.193 participantes

Gabarito oficial: letra D · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Polígonos regulares, incluindo ladrilhamento por ângulos
Habilidade do ENEM: H9: Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

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Questões parecidas: polígonos regulares, incluindo ladrilhamento por ângulos em outras provas

O que você precisa saber

• Ângulo interno de polígono regular: $\frac{180 ° \cdot (n - 2)}{n}$
• Em um vértice, os ângulos somam 360°; em uma reta, 180°

Ideia da questão

A questão quer saber que formas preenchem os espaços que os octógonos deixam, entre eles e na borda. Calcule o ângulo do octógono e veja quanto falta para fechar 360° em cada vértice e 180° na borda.

Resolução passo a passo

Passo 1 Calcular o ângulo do octógono

Em um octógono regular, o ângulo interno é a soma dos ângulos internos dividida pelos 8 lados.
$\begin{aligned} \frac{180 ° \cdot (8 - 2)}{8} \\ = \frac{1 080 °}{8} \\ = 135 ° \end{aligned}$

Passo 2 Descobrir o espaço entre octógonos

Em cada vértice do espaço entre os octógonos se encontram dois octógonos, e a volta completa tem 360°.
$\begin{aligned} 360 ° - 135 ° - 135 ° \\ = 90 ° \end{aligned}$
Os quatro ângulos são retos e os lados são iguais aos do octógono, então o espaço é um quadrado.

Atenção

Não decida pela aparência: o triângulo equilátero tem ângulos de 60°, e o espaço entre dois octógonos fecha 90°.

Passo 3 Descobrir o espaço na borda

Na borda, o ângulo de 135° do octógono está sobre uma reta, que mede 180°.
$\begin{aligned} 180 ° - 135 ° \\ = 45 ° \end{aligned}$
Cada triângulo da borda tem um ângulo de 90° (entre dois octógonos ou no canto) e dois de 45°, então é um triângulo retângulo isósceles.

Passo 4 Escolher os formatos

Os espaços são quadrados (formato 3) e triângulos retângulos isósceles (formato 1).

Conclusão

O painel precisa de quadrados nos espaços entre os octógonos e de triângulos retângulos isósceles na borda. Portanto, a alternativa correta é a D.

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