Matemática · caderno azul

Questão 164 do ENEM 2024

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2024:

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A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto $H$ representa o local onde está construído o hospital; os pontos $P_{1}$ , $P_{2}$ e $P_{3}$ , os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

Figura geométrica, na questão 164 do ENEM 2024

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

Alternativa A: 2 e 3.

Incorreta — usou 1/3 da altura (≈ 2,9 km), que é a distância de H até um lado.

15,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 4 e 5.

Incorreta — pôs H no meio da altura (≈ 4,3 km), mas o centro a divide em 2 para 1.

22,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C (correta): 5 e 6.

Correta — H é o centro do equilátero, a 2/3 da altura a partir de cada posto.

36,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 7 e 8.

Incorreta — H é o centro, e 2/3 da altura de 8,66 km não chega nem a 6 km.

16,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 8 e 9.

Incorreta — usou a altura inteira (≈ 8,7 km), que vai de um posto até o lado oposto.

8,5% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2024

Acerto no Brasil: 36,1%
Errada mais marcada: B, 22,3%
Nível na TRI: cerca de 780

Microdados do ENEM 2024 (INEP) · 2.998.220 participantes

Gabarito oficial: letra C · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Triângulos: classificação e propriedades
Habilidade do ENEM: H8: Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

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Questões parecidas: triângulos: classificação e propriedades em outras provas

O que você precisa saber

• Pitágoras para a altura do triângulo equilátero
• Centro do equilátero: a 2/3 da altura, contando do vértice

Ideia da questão

A questão quer o raio da circunferência que passa pelos três postos e tem centro no hospital. Calcule a altura do triângulo equilátero formado pelos postos e tome 2/3 dela.

Resolução passo a passo

Passo 1 Reconhecer o ponto H

Os postos formam um triângulo equilátero de lado 10 km, e H está à mesma distância dos três vértices. No triângulo equilátero esse ponto é o centro, que fica sobre cada altura, a 2/3 do vértice e a 1/3 do lado oposto.

Passo 2 Calcular a altura do triângulo

A altura divide o lado de 10 km ao meio e forma um triângulo retângulo de hipotenusa 10 e cateto 5.
$\begin{aligned} h^{2} & = 10^{2} - 5^{2} \\ = 75 \\ h & = 5 \sqrt{3} \\ \approx 8, 66 km \end{aligned}$

Passo 3 Tomar 2/3 da altura

A distância de H a cada posto vai do centro até o vértice, isto é, 2/3 da altura.

Distância do hospital a cada posto

$\begin{aligned} H P & = \frac{2}{3} \cdot 5 \sqrt{3} \\ = \frac{10 \sqrt{3}}{3} \\ \approx 5, 77 km \end{aligned}$

Observação

Sem calculadora: $H P^{2} = \frac{100}{3} \approx 33, 3$ , entre $5^{2} = 25$ e $6^{2} = 36$ ; logo HP fica entre 5 e 6.

Atenção

Não use 1/3 da altura: essa é a distância de H até o lado, não até o posto.

Conclusão

O hospital fica a cerca de 5,77 km de cada posto, valor entre 5 e 6 km. Portanto, a alternativa correta é a C.

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