Matemática · caderno azul

Questão 138 do ENEM 2018

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2018:

Marcar para revisar

Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: $A$ (0 ; 4), $B$ (4 ; 4), $C$ (4 ; 0), $D$ (2 ; 2) e $E$ (0 ; 2).

Figura no plano cartesiano, na questão 138 do ENEM 2018

Passando pelo ponto $A$ , qual equação forneceria a maior pontuação?

Alternativa A:

x = 0

Incorreta — A reta x = 0 passa por A e por E: são só 2 pontos de 1 ponto cada, 2 no total.

8,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

y = 0

Incorreta — A reta y = 0 passa por C, mas não passa por A (0 ; 4), como o enunciado exige.

8,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

x^{2} + y^{2} = 16

Incorreta — Essa circunferência não passa pela origem: $0^{2} + 0^{2} = 0$ , e não 16.

37,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

x^{2} + (y - 2)^{2} = 4

Incorreta — Passa pela origem, por A e por D: só 2 pontos atingidos, 4 no total.

25,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta):

(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 8

Correta — passa pela origem e por A, B e C: 3 pontos de 2 pontos cada, 6 no total.

18,5% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2018

Acerto no Brasil: 18,5%
Errada mais marcada: C, 37,7%
Nível na TRI: cerca de 880

Deixar para o fim Só 19% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Pegadinha A alternativa C atraiu 38% do Brasil, mais que a certa (19%). Antes de marcar, releia o que a pergunta pede.

Microdados do ENEM 2018 (INEP) · 3.902.487 participantes

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Circunferência no plano: centro e raio
Habilidade do ENEM: H22: Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

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Questões parecidas: circunferência no plano: centro e raio em outras provas

O que você precisa saber

• Um ponto está na curva se, ao substituir x e y, a igualdade vale
• Circunferência: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ , centro $(a; b)$
• Pontuação = pontos atingidos × valor de cada ponto

Ideia da questão

A questão quer o tiro que acerta mais pontos, lembrando que a circunferência vale o dobro da reta. Elimine as equações que não passam por A e pela origem, conte os pontos de cada uma das restantes e multiplique pelo valor do tipo de tiro.

Resolução passo a passo

Passo 1 Eliminar equações que não servem

O tiro precisa passar por A e pela origem. A reta $y = 0$ não passa por A, pois $4 \neq 0$ . A circunferência $x^{2} + y^{2} = 16$ não passa pela origem:
$0^{2} + 0^{2} = 0$
Restam $x = 0$ , a circunferência D e a circunferência E.

Atenção

Passar por A não basta: a circunferência $x^{2} + y^{2} = 16$ passa por A, B e C, mas não passa pela origem.

Passo 2 Pontuar a reta e D

A reta $x = 0$ é o eixo y e passa por A e E: 2 pontos de 1 ponto cada, 2 no total. Na circunferência $x^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ , substitua os demais pontos:

2^{2} + (2 - 2)^{2}

= 4

D: passa

4^{2} + (4 - 2)^{2}

= 20

B e C: não

0^{2} + (2 - 2)^{2}

= 0

E: não

A circunferência D atinge A e D: 2 pontos de 2 pontos cada, 4 no total.

Passo 3 Pontuar a circunferência E

Substitua A, B e C em $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 8$ :

(0 - 2)^{2} + (4 - 2)^{2}

= 8

(4 - 2)^{2} + (4 - 2)^{2}

= 8

(4 - 2)^{2} + (0 - 2)^{2}

= 8

A circunferência E passa pela origem ( $2^{2} + 2^{2} = 8$ ) e atinge A, B e C. Os pontos D e E ficam de fora: D dá $0^{2} + 0^{2} = 0$ e E dá $(0 - 2)^{2} + 0^{2} = 4$ , nenhum igual a 8.

Passo 4 Comparar as pontuações

Cada ponto vale 1 na reta e 2 na circunferência:

2 \cdot 1

= 2

reta x = 0

2 \cdot 2

= 4

circunferência D

3 \cdot 2

= 6

circunferência E

A maior pontuação é a da circunferência E.

Conclusão

A circunferência que passa pela origem e por A, B e C atinge 3 pontos de 2 pontos cada, a maior pontuação (6). Portanto, a alternativa correta é a E.

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