Matemática · caderno azul

Questão 177 do ENEM 2019

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2019:

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Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.

Figura da questão 177 do ENEM 2019 (Funções trigonométricas: período e frequência)

A função $h (t) = 4 + 4 sen (\frac{β t}{2} - \frac{π}{2})$ definida para $t \geq 0$ descreve como varia a altura $h$ , medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo $t$ , medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro $β$ , que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante $t = 0$ ), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para $π$ .

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro $β$ , de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é

Alternativa A: 1.

Incorreta — Com 1, a terceira passagem só chega em 16 s (16 ÷ 1), muito além de 4 s.

11,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 2.

Incorreta — Vem de contar só a primeira passagem por 6 cm; a terceira chega em 8 s (16 ÷ 2).

22,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 4.

Incorreta — Com 4, a terceira passagem ocorre em exatamente 4 s, e o enunciado pede menos de 4 s.

30,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D (correta): 5.

Correta — Com 5, a terceira passagem ocorre em 3,2 s (16 ÷ 5), menos de 4 s; com 4 não serve.

20,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 8.

Incorreta — Atende (a terceira passagem chega em 2 s), mas não é o menor inteiro que atende.

14,0% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2019

Acerto no Brasil: 20,5%
Errada mais marcada: C, 30,3%

Microdados do ENEM 2019 (INEP) · 3.707.741 participantes

Gabarito oficial: letra D · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Funções trigonométricas: período e frequência
Habilidade do ENEM: H21: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

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Questões parecidas: funções trigonométricas: período e frequência em outras provas

O que você precisa saber

• Seno repete a cada $2 π$ ; $sen (u) = \frac{1}{2}$ em $\frac{π}{6}$ e $\frac{5 π}{6}$
• Isolar o seno e achar os ângulos que dão aquele valor
• Inequação do 1º grau para achar o menor β inteiro

Ideia da questão

A questão quer o menor β para que a altura de 6 cm seja atingida três vezes em menos de 4 segundos. Ache o instante da terceira passagem por 6 cm em função de β e imponha que ele seja menor que 4.

Resolução passo a passo

Passo 1 Montar a equação da altura

O pistão está a 6 cm quando $h (t) = 6$ . Chamando $u = \frac{β t}{2} - \frac{π}{2}$ , a equação fica:

4 + 4 sen (u)

= 6

4 sen (u)

= 2

−4 nos dois lados

sen (u)

= \frac{1}{2}

: 4 nos dois lados

Passo 2 Achar ângulos do seno 1/2

O seno vale $\frac{1}{2}$ em $\frac{π}{6}$ e $\frac{5 π}{6}$ , e repete a cada volta de $2 π$ . Em $t = 0$ , $u = - \frac{π}{2}$ e só cresce, então as três primeiras passagens por 6 cm são:
$\begin{aligned} u_{1} & = \frac{π}{6} \\ u_{2} & = \frac{5 π}{6} \\ u_{3} & = \frac{π}{6} + 2 π \\ = \frac{13 π}{6} \end{aligned}$

Passo 3 Voltar para o instante t

A terceira passagem acontece quando $u = \frac{13 π}{6}$ :

\frac{β t}{2} - \frac{π}{2}

= \frac{13 π}{6}

\frac{β t}{2}

= \frac{13 π}{6} + \frac{π}{2}

+π/2 nos dois lados

= \frac{13 π}{6} + \frac{3 π}{6}

= \frac{16 π}{6}

= \frac{16^{: 2} π}{6_{: 2}}

= \frac{8 π}{3}

Observação

Sem calculadora, com π = 3: 13π/6 = 13/2 = 6,5 e π/2 = 1,5, e 6,5 + 1,5 = 8.

Passo 4 Calcular o tempo da passagem

Com $π = 3$ , isola-se t:

\frac{β t}{2}

= \frac{8 \cdot 3}{3}

π = 3

= \frac{8 \cdot 3}{3}

= 8

β t

= 16

× 2 nos dois lados

t

= \frac{16}{β}

: β nos dois lados

Passo 5 Escolher o menor β

A terceira passagem precisa acontecer em menos de 4 segundos:

\frac{16}{β}

< 4

16

< 4 β

× β nos dois lados

4

< β

: 4 nos dois lados

Como β é inteiro e maior que 4, o menor valor é 5.

Atenção

Com β = 4, a terceira passagem ocorre em exatamente 4 s, e não em menos de 4 s. Aceitar o 4 leva à alternativa C.

Conclusão

A terceira passagem por 6 cm acontece em 16 ÷ β segundos, e isso é menor que 4 quando β passa de 4. Portanto, a alternativa correta é a D.

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