Matemática · caderno azul

Questão 163 do ENEM 2019

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2019:

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O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor $X$ , o segundo $\sqrt{X}$ , o terceiro $X^{\frac{1}{3}}$ , o quarto $X^{2}$ e o último $X^{3}$ . Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.

Qual desses países obteve o maior IDH?

Alternativa A: O primeiro.

Incorreta — com X = 0,25, o primeiro país tem 0,25, abaixo de $\sqrt{X} = 0, 5$ .

11,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: O segundo.

Incorreta — com X = 0,25, $\sqrt{X} = 0, 5$ ainda fica abaixo de $X^{\frac{1}{3}} \approx 0, 63$ .

11,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C (correta): O terceiro.

Correta — com X = 0,25, $X^{\frac{1}{3}} \approx 0, 63$ é o maior valor: o menor expoente vence.

18,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: O quarto.

Incorreta — com X = 0,25, o quarto país tem 0,0625: elevar ao quadrado encolhe o número.

10,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: O quinto.

Incorreta — com X = 0,25, o último país tem cerca de 0,016, o menor dos cinco.

46,9% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2019

Acerto no Brasil: 18,6%
Errada mais marcada: E, 46,9%
Nível na TRI: cerca de 790

Deixar para o fim Só 19% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Pegadinha A alternativa E atraiu 47% do Brasil, mais que a certa (19%). Antes de marcar, releia o que a pergunta pede.

Microdados do ENEM 2019 (INEP) · 3.707.741 participantes

Gabarito oficial: letra C · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Potenciação: propriedades e potências de 10
Habilidade do ENEM: H4: Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

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Questões parecidas: potenciação: propriedades e potências de 10 em outras provas

O que você precisa saber

• Raiz é expoente fracionário: $\sqrt{X} = X^{\frac{1}{2}}$
• Entre 0 e 1, expoente maior dá valor menor: $X^{3} < X^{2} < X$

Ideia da questão

A questão quer o maior entre cinco valores feitos com o mesmo número X, que está entre 0 e 1. Escreva todos como potência de X e compare os expoentes: nessa faixa, o menor expoente dá o maior valor.

Resolução passo a passo

Passo 1 Escrever como potência de X

As raízes viram potências de expoente fracionário: $\sqrt{X} = X^{\frac{1}{2}}$ . O quadro reúne os cinco expoentes:

Expoente de cada país

País	Valor	Expoente
1º	X	1
2º	√X	1/2
3º	∛X	1/3
4º	X²	2
5º	X³	3

Passo 2 Comparar os expoentes

Ordenando os cinco expoentes do menor para o maior:
$\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1 < 2 < 3$

Passo 3 Ligar o expoente ao valor

Com $X$ entre 0 e 1, cada fator $X$ a mais diminui o valor, então um expoente maior dá um valor menor:
$X^{3} < X^{2} < X < X^{\frac{1}{2}} < X^{\frac{1}{3}}$
O maior valor é o do menor expoente, ou seja, o do terceiro país.

Observação

Teste com $X = \frac{1}{4}$ : $\sqrt{X} = \frac{1}{2}$ é maior que $X$ , e $X^{2} = \frac{1}{16}$ é menor.

Atenção

Não ache que expoente maior dá valor maior: isso vale só para $X > 1$ . Entre 0 e 1 é o contrário, e esse erro leva ao último país (alternativa E).

Conclusão

Entre 0 e 1, o menor expoente dá o maior valor, e o menor expoente é $\frac{1}{3}$ , o do terceiro país. Portanto, a alternativa correta é a C.

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