Matemática · caderno azul

Questão 160 do ENEM 2025

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2025:

Marcar para revisar

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância $D$ da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo $T$ , em minuto, de acordo com uma função do tipo

$D = k + tg [p (T + m)],$

sendo os parâmetros $k$ , $p$ e $m$ números reais, para $T$ variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de $D$ .

Figura no plano cartesiano, na questão 160 do ENEM 2025

A expressão algébrica que representa a relação entre $D$ e $T$ é

Alternativa A:

D = 2, 5 + tg [30 (T - \frac{5 - 2 π}{2})]

Incorreta — usou 2,5 como o valor somado e 30 dentro da tangente: trocou os papéis.

21,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

D = 4 + tg [30 (T + \frac{5}{2})]

Incorreta — p = 30 deixaria as assíntotas muito juntas, e k = 4 não dá D = 30 no centro.

18,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

D = 4 + tg [2, 5 (T + \frac{5 + 2 π}{2})]

Incorreta — p = 2,5 dá um período bem menor que a distância 2π entre as assíntotas.

30,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

D = 30 + tg [\frac{1}{2} (T - 5)]

Incorreta — o centro da tangente fica em T = 5/2, e não em T = 5.

13,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta):

D = 30 + tg [\frac{1}{2} (T - \frac{5}{2})]

Correta — período 2π dá p = 1/2, e o centro (2,5; 30) dá k = 30 e m = −5/2.

15,0% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2025

Acerto no Brasil: 15,0%
Errada mais marcada: C, 30,9%

Deixar para o fim Só 15% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Pegadinha A alternativa C atraiu 31% do Brasil, mais que a certa (15%). Antes de marcar, releia o que a pergunta pede.

Microdados do ENEM 2025 (INEP) · 3.176.917 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Funções trigonométricas: lei pelo gráfico senoidal
Habilidade do ENEM: H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

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Questões parecidas: funções trigonométricas: lei pelo gráfico senoidal em outras provas

O que você precisa saber

• $tg (p x)$ tem período $\frac{π}{p}$
• Entre duas assíntotas vizinhas cabe um período
• No centro do ramo a tangente vale zero

Ideia da questão

A questão quer os três parâmetros da tangente lidos no gráfico. Use a distância entre as assíntotas para achar p e o ponto do meio, (2,5; 30), para achar k e m.

Resolução passo a passo

Passo 1 Entender o ramo da tangente

A curva é um ramo de tangente entre duas assíntotas vizinhas. A distância entre elas é um período, e no meio delas a tangente vale zero.

Passo 2 Calcular o período

As assíntotas estão em $\frac{5 - 2 π}{2}$ e $\frac{5 + 2 π}{2}$ .
$\begin{aligned} \frac{5 + 2 π}{2} - \frac{5 - 2 π}{2} & = \frac{5 + 2 π - 5 + 2 π}{2} \\ = \frac{4 π}{2} \\ = 2 π \end{aligned}$

Passo 3 Achar o valor de p

A tangente $tg (p x)$ tem período $\frac{π}{p}$ .

\frac{π}{p}

= 2 π

×p nos dois lados

π

= 2 π p

: 2π nos dois lados

p

= \frac{π}{2 π}

= \frac{1}{2}

Passo 4 Usar o centro do ramo

O meio das assíntotas é $T = \frac{5}{2} = 2, 5$ , e o gráfico marca $D = 30$ ali. Nesse ponto a tangente vale zero, então $k = 30$ ; e $T + m = 0$ para $T = \frac{5}{2}$ , então $m = - \frac{5}{2}$ .

Atenção

Não use $T - 5$ : o ramo se centra em $T = \frac{5}{2}$ , o meio entre as assíntotas.

Passo 5 Montar a expressão

Com $k = 30$ , $p = \frac{1}{2}$ e $m = - \frac{5}{2}$ : $D = 30 + tg [\frac{1}{2} (T - \frac{5}{2})]$ .

Conclusão

As assíntotas dão p = 1/2, e o centro (2,5; 30) dá k = 30 e m = −5/2. Portanto, a alternativa correta é a E.

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