Matemática · caderno azul

Questão 169 do ENEM 2019

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2019:

Marcar para revisar

Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.

O usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V. Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km.

Figura no plano cartesiano, na questão 169 do ENEM 2019

Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S, simultaneamente?

Alternativa A (correta): I

Correta — I fica a $\sqrt{5} \approx 2, 2$ km de Q, $\sqrt{2} \approx 1, 4$ km de R e 3 km de S, dentro dos alcances.

23,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: II

Incorreta — II fica a $\sqrt{8} \approx 2, 8$ km de R, que alcança só 2 km.

26,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: III

Incorreta — III fica a $\sqrt{5} \approx 2, 2$ km de R, além dos 2 km que ele alcança.

22,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: IV

Incorreta — IV fica a $\sqrt{5} \approx 2, 2$ km de R, além dos 2 km, e a $\sqrt{10} \approx 3, 2$ km de S, além dos 3 km de P.

10,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: V

Incorreta — V fica a $\sqrt{18} \approx 4, 2$ km de R, bem além dos 2 km que ele alcança.

16,9% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2019

Acerto no Brasil: 23,6%
Errada mais marcada: B, 26,0%
Nível na TRI: cerca de 700

Microdados do ENEM 2019 (INEP) · 3.707.741 participantes

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Distância entre dois pontos
Habilidade do ENEM: H9: Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

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Questões parecidas: distância entre dois pontos em outras provas

O que você precisa saber

• Distância entre pontos: $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
• Match: a distância cabe nos dois raios, então vale o menor

Ideia da questão

A questão quer o bar em que P alcança Q, R e S ao mesmo tempo. Para cada usuário, o alcance do match é o menor entre o raio de P e o raio dele: calcule a distância do bar até cada um e compare.

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar o alcance do match

Para haver match, a distância entre os dois precisa ser menor ou igual aos dois raios, isto é, ao menor deles. Com P, de raio 3 km, no bar:

Alcance de cada match

Usuário	Raio dele	Alcance do match
Q	3 km	3 km
R	2 km	2 km
S	5 km	3 km

Passo 2 Ler as coordenadas

Pelo gráfico, em quilômetros: Q $(3; 7)$ , R $(6; 7)$ e S $(5; 3)$ . Os bares são I $(5; 6)$ , II $(4; 5)$ , III $(5; 5)$ , IV $(4; 6)$ e V $(3; 4)$ .

Passo 3 Calcular as distâncias

A distância entre dois pontos vem de Pitágoras. Por exemplo, do bar I até R:
$\begin{aligned} d_{I R} & = \sqrt{(6 - 5)^{2} + (7 - 6)^{2}} \\ = \sqrt{1 + 1} \\ = \sqrt{2} \end{aligned}$
Do mesmo modo, do bar I até Q a diferença é 2 em x e 1 em y, então $\sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$ , e do bar I até S é $\sqrt{0^{2} + 3^{2}} = 3$ . Os outros bares e usuários seguem a mesma conta.

Passo 4 Comparar com os alcances

O quadro mostra as distâncias de cada bar, que precisam ser no máximo 3 km até Q, 2 km até R e 3 km até S:

Distâncias, em km

Bar	até Q (máx. 3)	até R (máx. 2)	até S (máx. 3)
I	√5	√2	3
II	√5	√8	√5
III	√8	√5	2
IV	√2	√5	√10
V	3	√18	√5

Observação

Sem calculadora: compare o número dentro da raiz com o quadrado do alcance. Para R, o limite é 4, e 8, 5 e 18 passam dele; para S, o limite é 9, e 10 passa dele.

Atenção

Não use os 3 km de P para todos: com R alcançando só 2 km, os bares II e III parecem servir ( $\sqrt{8}$ e $\sqrt{5}$ são menores que 3), e esse erro leva às alternativas B e C.

Passo 5 Escolher o bar

Só o bar I tem as três distâncias dentro dos alcances: $\sqrt{5} \leq 3$ , $\sqrt{2} \leq 2$ e $3 \leq 3$ .

Conclusão

Só o bar I fica a no máximo 3 km de Q, 2 km de R e 3 km de S, que são os alcances de cada match. Portanto, a alternativa correta é a A.

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