Matemática · caderno azul

Questão 151 do ENEM 2018

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2018:

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A Ecofont possui design baseado na velha fonte Vera Sans. Porém, ela tem um diferencial: pequenos buraquinhos circulares congruentes, em todo o seu corpo, presentes em cada símbolo. Esses furos proporcionam um gasto de tinta menor na hora da impressão.

Figura da questão 151 do ENEM 2018 (Razão de semelhança em comprimento, área e volume, em figuras planas e sólidos)

Disponível em: www.goo.gl. Acesso em: 2 dez. 2017 (adaptado).

Suponha que a palavra ECO esteja escrita nessa fonte, com tamanho 192, e que seja composta por letras formadas por quadrados de lados x com furos circulares de raio r = $\frac{x}{3}$ . Para que a área a ser pintada seja reduzida a $\frac{1}{16}$ da área inicial, pretende-se reduzir o tamanho da fonte. Sabe-se que, ao alterar o tamanho da fonte, o tamanho da letra é alterado na mesma proporção.

Nessas condições, o tamanho adequado da fonte será

Alternativa A: 64.

Incorreta — 64 é um terço de 192, razão que deixa a área em $\frac{1}{9}$ , e não em $\frac{1}{16}$ .

20,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta): 48.

Correta — a razão entre os tamanhos é $\frac{1}{4}$ , pois $\frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}$ : $192 \div 4 = 48$ .

29,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 24.

Incorreta — 24 é $\frac{1}{8}$ de 192 e deixa a área em $\frac{1}{64}$ , menos que o pedido.

19,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 21.

Incorreta — 21 é cerca de $\frac{1}{9}$ de 192 e deixa a área em cerca de $\frac{1}{84}$ , menos que o pedido.

13,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 12.

Incorreta — 12 é $\frac{1}{16}$ de 192: aplicou a razão da área direto no tamanho, sem tirar a raiz.

16,8% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2018

Acerto no Brasil: 29,2%
Errada mais marcada: A, 20,3%
Nível na TRI: cerca de 930

Microdados do ENEM 2018 (INEP) · 3.902.487 participantes

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Razão de semelhança em comprimento, área e volume, em figuras planas e sólidos · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H23: Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.

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O que você precisa saber

• Razão linear $k$ : a área muda na razão $k^{2}$
• Área do círculo: $π r^{2}$
• Achar $k$ pela raiz quadrada da razão de áreas

Ideia da questão

A questão quer o tamanho da fonte que deixa a área pintada em $\frac{1}{16}$ da inicial. Como a área muda com o quadrado da razão entre os tamanhos, ache essa razão pela raiz de $\frac{1}{16}$ e aplique-a em 192.

Resolução passo a passo

Passo 1 Ver como a área muda

Em cada quadrado de lado $x$ com furo de raio $r = \frac{x}{3}$ , a área pintada é a do quadrado menos a do círculo:
$\begin{aligned} A & = x^{2} - π r^{2} \\ = x^{2} - π (\frac{x}{3})^{2} \\ = x^{2} - \frac{π x^{2}}{9} \\ = x^{2} (1 - \frac{π}{9}) \end{aligned}$
A área pintada é proporcional a $x^{2}$ . Se o tamanho da letra muda na razão $k$ , o lado vira $k x$ e a área vira $k^{2} A$ .

Passo 2 Achar a razão linear

A área pintada deve cair a $\frac{1}{16}$ da inicial, então $k^{2}$ vale $\frac{1}{16}$ :

k^{2}

= \frac{1}{16}

k

= \frac{1}{4}

raiz dos dois lados

Atenção

O $\frac{1}{16}$ é a razão das áreas, e não dos tamanhos: aplicá-lo direto na fonte dá 12 e leva à alternativa E.

Passo 3 Calcular o novo tamanho

O tamanho da fonte muda na razão $k$ :
$\begin{aligned} 192 \cdot \frac{1}{4} \\ = \frac{192}{4} \\ = 48 \end{aligned}$

Observação

Sem calculadora: dividir por 4 é tirar a metade duas vezes, $192 \to 96 \to 48$ .

Conclusão

A razão entre os tamanhos é $\frac{1}{4}$ , porque a área cai com o quadrado dela, e a fonte passa de 192 para 48. Portanto, a alternativa correta é a B.

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