Matemática · caderno azul

Questão 152 do ENEM 2015

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2015:

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O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere $P$ a quantidade anual de produtos fabricados no ano $t$ de funcionamento da indústria.

Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas $P$ em função de $t$ , para $t \geq 1$ ?

Alternativa A:

P (t) = 0, 5 \cdot t^{- 1} + 8 000

Incorreta — em t = 1 daria 8 000,5 e não 8 000; além disso t⁻¹ diminui, e a produção cresce.

16,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

P (t) = 50 \cdot t^{- 1} + 8 000

Incorreta — em t = 1 daria 8 050, e a parcela 50 · t⁻¹ diminui com o tempo, em vez de crescer.

23,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

P (t) = 4 000 \cdot t^{- 1} + 8 000

Incorreta — em t = 1 daria 12 000, e não 8 000; a parcela 4 000 · t⁻¹ também diminui com o tempo.

22,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

P (t) = 8 000 \cdot (0, 5)^{t - 1}

Incorreta — o fator 0,5 reduz a produção à metade a cada ano, e o enunciado diz que ela cresce.

21,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta):

P (t) = 8 000 \cdot (1, 5)^{t - 1}

Correta — 8 000 no primeiro ano, multiplicados por 1,5 a cada ano que passa depois dele.

15,3% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2015

Acerto no Brasil: 15,3%
Errada mais marcada: B, 23,2%
Nível na TRI: cerca de 740

Deixar para o fim Só 15% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2015 (INEP) · 5.618.625 participantes

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Exponencial: obter a lei de formação · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

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Questões parecidas: exponencial: obter a lei de formação em outras provas

O que você precisa saber

• Aumento de 50% ao ano: multiplicar por 1,5
• Lei exponencial: valor inicial · fator elevado ao nº de aumentos

Ideia da questão

A questão quer a fórmula da produção no ano t, com crescimento de 50% ao ano. Ache o fator anual e conte quantos aumentos já ocorreram em cada ano t.

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar o fator anual

Um aumento de 50% multiplica a produção por 1,5:
$\begin{aligned} 1 + 0, 5 \\ = 1, 5 \end{aligned}$

Atenção

Aumento de 50% é multiplicar por 1,5, e não por 0,5: o fator 0,5 reduz a produção à metade a cada ano.

Passo 2 Contar os aumentos

No ano 1 a produção é 8 000, sem nenhum aumento; no ano 2 há um aumento; no ano 3, dois. Em cada ano $t$ já ocorreram $t - 1$ aumentos.

Produção por ano

Ano t	Produção
1	8 000
2	8 000 · 1,5
3	8 000 · 1,5²

Passo 3 Escrever a lei

A produção é o valor inicial vezes o fator elevado ao número de aumentos: $P (t) = 8 000 \cdot 1, 5^{t - 1}$ .

Conclusão

A produção parte de 8 000 unidades e é multiplicada por 1,5 a cada ano depois do primeiro. Portanto, a alternativa correta é a E.

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