Matemática · caderno azul

Questão 165 do ENEM 2015

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2015:

Marcar para revisar

O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. O raio $R$ deve ser um número natural.

Figura geométrica, na questão 165 do ENEM 2015

O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m × 24 m.

O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.

Considere 3,0 como aproximação para $π$ .

O maior valor possível para $R$ , em metros, deverá ser

Alternativa A: 16.

Incorreta — com R = 16 a piscina ocupa 384 m², longe de 1 200 m²: ainda dá para aumentar R.

22,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta): 28.

Correta — com R = 28 a área é 1 176 m², menor que 1 200 m²; com R = 29 não caberia.

23,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 29.

Incorreta — arredonda √800 ≈ 28,3 para cima, mas com R = 29 a área é 1 261,5 m², maior que 1 200 m².

19,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 31.

Incorreta — com R = 31 a área chega a 1 441,5 m², acima dos 1 200 m² permitidos.

21,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 49.

Incorreta — com R = 49 a área é 3 601,5 m², mais que o triplo do permitido.

12,4% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2015

Acerto no Brasil: 23,9%
Errada mais marcada: A, 22,3%
Nível na TRI: cerca de 810

Microdados do ENEM 2015 (INEP) · 5.618.625 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra B

O que você precisa saber

• Setor circular: fração do ângulo × πR²
• Área do retângulo: base × altura
• Resolver desigualdade com R² e testar naturais

Ideia da questão

A questão quer o maior raio natural para o qual a piscina ocupe menos que o retângulo de 50 m × 24 m. Escreva a área dos três setores com π = 3, monte a desigualdade e teste os naturais perto da raiz.

Resolução passo a passo

Passo 1 Escrever a área da piscina

A piscina tem três setores de 60°, cada um com $\frac{60}{360}$ da área do círculo $π R^{2}$ . Com $π = 3$ :
$\begin{aligned} A & = 3 \times \frac{60^{: 60}}{360_{: 60}} \times 3 R^{2} \\ = 3 \times \frac{1}{6} \times 3 R^{2} \\ = \frac{9^{: 3}}{6_{: 3}} R^{2} \\ = \frac{3}{2} R^{2} \end{aligned}$

Passo 2 Montar a desigualdade

A área do retângulo é $50 \times 24 = 1 200$ m², e a da piscina deve ser menor que ela.

\frac{3}{2} R^{2}

< 1 200

× 2 nos dois lados

3 R^{2}

< 2 400

: 3 nos dois lados

R^{2}

< 800

Passo 3 Achar o maior R natural

Procuram-se os naturais cujo quadrado é menor que 800.

Teste de valores de R

R	R²	R² < 800?
28	784	sim
29	841	não

Atenção

$\sqrt{800} \approx 28, 3$ não se arredonda para 29: com R = 29 a área passa de 1 200 m².

Observação

Sem calculadora: $28 \times 28 = 784$ e $29 \times 29 = 841$ , então a raiz de 800 fica entre 28 e 29.

Conclusão

O raio natural mais alto para o qual a piscina ocupa menos de 1 200 m² é 28 m. Portanto, a alternativa correta é a B.

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Sobre esta questão

Assunto: Áreas de círculo, setor e coroa · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H22: Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

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