Matemática · caderno azul

Questão 180 do ENEM 2024

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2024:

Marcar para revisar

Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.

A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é

Alternativa A:

\frac{7!}{4!} \times \frac{6!}{4!}

Incorreta — usou arranjos, como se a ordem importasse, e só o caso de 3 cardiologistas.

10,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}

Incorreta — cobre só o caso 3 + 2; faltam as equipes com 4 e com 5 cardiologistas.

27,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

\frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!} + \frac{5!}{1! \times 4!}

Incorreta — soma escolhas que acontecem juntas (deveria multiplicar) e não separa os casos.

29,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

(\frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!}) \times (\frac{7!}{4! \times 3!} + \frac{6!}{1! \times 5!}) \times (\frac{7!}{5! \times 2!} + \frac{6!}{0! \times 6!})

Incorreta — inverteu as operações: somou dentro de cada caso e multiplicou os casos.

17,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta):

(\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}) + (\frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}) + (\frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!})

Correta — separa os casos 3 + 2, 4 + 1 e 5 + 0, multiplica dentro de cada um e soma.

14,1% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2024

Acerto no Brasil: 14,1%
Errada mais marcada: C, 29,3%
Nível na TRI: cerca de 810

Deixar para o fim Só 14% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2024 (INEP) · 2.998.220 participantes

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Combinações
Habilidade do ENEM: H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

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Questões parecidas: combinações em outras provas

O que você precisa saber

• Combinação: $(\binom{n}{p}) = \frac{n!}{p! (n - p)!}$
• “Pelo menos”: separar em casos e somar os casos
• Escolhas feitas juntas se multiplicam

Ideia da questão

A questão quer todas as equipes de 5 com 3, 4 ou 5 cardiologistas. Separe esses três casos, multiplique as escolhas de cardiologistas e de neurologistas em cada um e some os casos.

Resolução passo a passo

Passo 1 Separar os casos possíveis

“Pelo menos 3 cardiologistas” numa equipe de 5 abre três casos: 3 cardiologistas e 2 neurologistas, 4 e 1, ou 5 e 0. A ordem dos escolhidos não importa, então cada escolha é uma combinação.

Passo 2 Contar cada caso

Em cada caso, escolher os cardiologistas e escolher os neurologistas acontecem juntos, então as combinações se multiplicam.

Equipes em cada caso

Cardiologistas	Neurologistas	Equipes
3	2	$(\binom{7}{3}) \cdot (\binom{6}{2}) = 35 \times 15 = 525$
4	1	$(\binom{7}{4}) \cdot (\binom{6}{1}) = 35 \times 6 = 210$
5	0	$(\binom{7}{5}) \cdot (\binom{6}{0}) = 21 \times 1 = 21$

Passo 3 Somar os casos

Cada equipe cai em um caso só, então os casos se somam. Trocando cada $(\binom{n}{p})$ por $\frac{n!}{p! (n - p)!}$ , a expressão é uma soma de três produtos:

Total de equipes

$\begin{aligned} (\binom{7}{3}) (\binom{6}{2}) + (\binom{7}{4}) (\binom{6}{1}) + (\binom{7}{5}) (\binom{6}{0}) \\ = 525 + 210 + 21 \\ = 756 \end{aligned}$

Atenção

Não troque as operações: dentro de cada caso se multiplica, entre os casos se soma.

Conclusão

As equipes possíveis são a soma dos três casos, cada um como produto de duas combinações, num total de 756. Portanto, a alternativa correta é a E.

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