Matemática · caderno azul

Questão 146 do ENEM 2024

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2024:

Marcar para revisar

Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos $L$ metro e $C$ metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento $L$ metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6 000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.

Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?

Alternativa A: 85

Incorreta — é quase o lado do quadrado (6 000 ÷ 70 ≈ 85,7), ótimo só se as telas custassem igual.

12,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta): 100

Correta — é o lado C: os lados de R$ 15 recebem metade da verba, R$ 3 000.

18,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 175

Incorreta — é a soma dos dois lados, 75 + 100, não a medida de um lado.

31,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 200

Incorreta — contou um lado só de cada tipo de tela; são dois lados de cada.

24,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 350

Incorreta — é o perímetro do galinheiro, 2 × (75 + 100), não o maior lado.

13,6% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2024

Acerto no Brasil: 18,2%
Errada mais marcada: C, 31,4%
Nível na TRI: cerca de 900

Deixar para o fim Só 18% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Pegadinha A alternativa C atraiu 31% do Brasil, mais que a certa (18%). Antes de marcar, releia o que a pergunta pede.

Microdados do ENEM 2024 (INEP) · 2.998.220 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Função quadrática: vértice, máximo e mínimo
Habilidade do ENEM: H22: Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

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Questões parecidas: função quadrática: vértice, máximo e mínimo em outras provas

O que você precisa saber

• Custo da cerca: 2 lados × comprimento × preço do metro
• Área do retângulo como quadrática em um dos lados
• Vértice da parábola: $x_{v} = - \frac{b}{2 a}$

Ideia da questão

A questão quer as medidas do retângulo de maior área que a verba de R$ 6 000 consegue cercar. Use a equação do custo para escrever a área em função de um só lado e ache o vértice dessa parábola.

Resolução passo a passo

Passo 1 Montar a equação do custo

O retângulo tem dois lados de medida L, a R$ 20 o metro, e dois de medida C, a R$ 15. Gastando toda a verba:
$\begin{aligned} 2 \cdot 20 L + 2 \cdot 15 C & = 6 000 \\ 40 L + 30 C & = 6 000 \end{aligned}$

Atenção

Não conte um lado só de cada tipo: são dois lados L e dois lados C, e cada um leva tela.

Passo 2 Escrever a área como função

Da equação do custo, $C = 200 - \frac{4 L}{3}$ . A área é o produto dos lados, uma parábola em L:

A (L)

= L (200 - \frac{4 L}{3})

= 200 L - \frac{4}{3} L^{2}

= - \frac{4}{3} L^{2} + 200 L

a = −4/3, b = 200

Passo 3 Achar o vértice da parábola

Como $a < 0$ , a parábola tem concavidade para baixo e o vértice dá a área máxima.

Lado L de área máxima

L

= \frac{200}{2 \cdot \frac{4}{3}}

vértice: −b/(2a)

= \frac{200}{\frac{8}{3}}

= 75

Com $L = 75$ , $C = 200 - 100 = 100$ . O maior lado é o C, das telas de R$ 15.

Observação

Atalho de prova: no máximo, a verba se divide ao meio entre os dois pares de lados, $40 L = 3 000$ e $30 C = 3 000$ .

Conclusão

Com R$ 6 000, o galinheiro de área máxima mede 75 m por 100 m, e o lado maior tem 100 m. Portanto, a alternativa correta é a B.

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