Matemática · caderno azul

Questão 174 do ENEM 2011

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2011:

Marcar para revisar

O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.

Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é

Alternativa A: 24.

Incorreta — 24 é só a quantidade de números que começam com 1 (4!).

17,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 31.

Incorreta — 31 não chega aos 72 números iniciados por 1, 3 e 5, que já vêm antes do 75 913.

21,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 32.

Incorreta — 32 também fica abaixo dos 72 iniciados por 1, 3 e 5: cada um desses três grupos tem 24 números.

21,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 88.

Incorreta — são 88 números antes do 75 913, mas ele ocupa a posição seguinte.

22,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta): 89.

Correta — 72 + 12 + 4 = 88 números vêm antes, então o 75 913 é o 89º.

15,7% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2011

Acerto no Brasil: 15,7%
Errada mais marcada: D, 22,8%
Nível na TRI: cerca de 850

Deixar para o fim Só 16% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2011 (INEP) · 3.868.891 participantes · 0,6% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Permutações simples e com repetição
Habilidade do ENEM: H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

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Questões parecidas: permutações simples e com repetição em outras provas

O que você precisa saber

• Princípio multiplicativo: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 números
• Fatorial: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
• Ordem crescente: compara-se algarismo a algarismo, da esquerda

Ideia da questão

A questão quer a posição de 75 913 na lista de 120 números em ordem crescente. Conte quantos números vêm antes dele, algarismo por algarismo, e some 1 pelo próprio número.

Resolução passo a passo

Passo 1 Contar os números da lista

Cada número usa os cinco algarismos ímpares (1, 3, 5, 7 e 9), sem repetir nenhum.

Total de números

1º algarismo

5

2º algarismo

4

3º algarismo

3

4º algarismo

2

5º algarismo

1

São 120 números, como diz o enunciado.

Passo 2 Contar pelo 1º algarismo

Os números que começam com 1, 3 ou 5 são todos menores que 75 913. Com o primeiro algarismo fixo, sobram 4 algarismos para arrumar de $4!$ maneiras.
$\begin{aligned} 3 \times 4! \\ = 3 \times 24 \\ = 72 \end{aligned}$

Passo 3 Contar pelo 2º algarismo

Com 7 na frente, o segundo algarismo menor que 5 é 1 ou 3. Sobram 3 algarismos para arrumar.
$\begin{aligned} 2 \times 3! \\ = 2 \times 6 \\ = 12 \end{aligned}$

Passo 4 Contar pelo 3º algarismo

Com 75 na frente, o terceiro algarismo menor que 9 é 1 ou 3. Sobram 2 algarismos para arrumar.
$\begin{aligned} 2 \times 2! \\ = 2 \times 2 \\ = 4 \end{aligned}$

Passo 5 Achar a posição

Com 759 na frente, sobram 1 e 3, e 75 913 vem antes de 75 931, então nenhum número que começa com 759 é menor que ele. Os números menores somam:

72 + 12 + 4

= 88

88 + 1

= 89

o próprio 75 913

Atenção

O próprio 75 913 também ocupa uma posição: some 1 aos 88 números que vêm antes.

Conclusão

Antes de 75 913 há 88 números da lista, então ele ocupa a 89ª posição. Portanto, a alternativa correta é a E.

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