Matemática · caderno azul

Questão 159 do ENEM 2011

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2011:

Marcar para revisar

O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.

Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?

Alternativa A (correta): 100n + 350 = 120n + 150

Correta — cada custo é o valor por km vezes n mais o fixo, e a indiferença é a igualdade dos dois.

28,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 100n + 150 = 120n + 350

Incorreta — trocou os valores fixos entre as empresas: deu à 1ª o fixo da 2ª e o contrário.

15,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 100(n + 350) = 120(n + 150)

Incorreta — multiplicou o valor fixo pelo valor por km; o fixo é somado ao custo por km, e não multiplicado.

22,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)

Incorreta — multiplica o fixo pelo valor por km e ainda mistura milhares com reais na mesma equação.

21,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)

Incorreta — o valor fixo não depende de n, mas aqui ele multiplica a soma de n com o valor por km.

11,8% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2011

Acerto no Brasil: 28,4%
Errada mais marcada: C, 22,5%
Nível na TRI: cerca de 720

Microdados do ENEM 2011 (INEP) · 3.868.891 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Tradução do enunciado para linguagem algébrica · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H23: Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.

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O que você precisa saber

• Custo = valor por km × km + valor fixo
• Indiferente: igualar os custos das duas empresas

Ideia da questão

A questão quer a equação que iguala o custo total das duas empresas para n km. Escreva o custo de cada uma como valor por km vezes n mais o valor fixo, e iguale os dois.

Resolução passo a passo

Passo 1 Escrever o custo das empresas

O custo é o valor por km vezes n, mais o valor fixo. Em milhares de reais, as duas empresas cobram:
$\begin{aligned} C_{1} & = 100 n + 350 \\ C_{2} & = 120 n + 150 \end{aligned}$

Atenção

O valor fixo é somado: multiplicá-lo pelo valor por km leva às alternativas C e D.

Passo 2 Igualar os custos

A prefeitura fica indiferente quando as duas propostas custam o mesmo.
$\begin{aligned} C_{1} & = C_{2} \\ 100 n + 350 & = 120 n + 150 \end{aligned}$

Observação

Resolvendo, $20 n = 200$ e $n = 10$ km: nessa extensão as duas dão 1 350 em milhares de reais, então a igualdade está bem montada.

Conclusão

As duas propostas custam o mesmo quando o valor por km vezes n, mais o fixo, é igual nas duas empresas. Portanto, a alternativa correta é a A.

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