Matemática · caderno azul

Questão 150 do ENEM 2011

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2011:

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Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

Figura no plano cartesiano, na questão 150 do ENEM 2011

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto

Alternativa A: (−5, 0).

Incorreta — está a 5 km do hospital, mas fora da reta: −5 + 4 = −1, e o ponto tem y = 0.

24,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta): (−3, 1).

Correta — está na reta (−3 + 4 = 1) e a $\sqrt{20}$ ≈ 4,5 km do hospital, dentro dos 5 km.

20,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: (−2, 1).

Incorreta — está a 5 km do hospital, mas fora da reta: −2 + 4 = 2, e o ponto tem y = 1.

16,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: (0, 4).

Incorreta — está na reta (0 + 4 = 4), mas a $\sqrt{26}$ ≈ 5,1 km do hospital, mais que 5 km.

25,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: (2, 6).

Incorreta — está na reta (2 + 4 = 6), mas a $\sqrt{50}$ ≈ 7,1 km do hospital.

12,2% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2011

Acerto no Brasil: 20,3%
Errada mais marcada: D, 25,6%
Nível na TRI: cerca de 770

Microdados do ENEM 2011 (INEP) · 3.868.891 participantes

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Distância entre dois pontos
Habilidade do ENEM: H22: Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

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Questões parecidas: distância entre dois pontos em outras provas

O que você precisa saber

• Ponto na reta: as coordenadas satisfazem $y = x + 4$
• Distância entre dois pontos: $d = \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$

Ideia da questão

A questão quer a estação que está na reta do metrô e a no máximo 5 km do hospital. Descubra quais alternativas estão na reta e compare a distância de cada uma ao hospital com 5 km.

Resolução passo a passo

Passo 1 Listar as condições da estação

A estação precisa estar na reta $y = x + 4$ , porque é por ela que passa o metrô, e a no máximo 5 km do hospital $P = (- 5, 5)$ .

Passo 2 Achar os pontos da reta

Um ponto está na reta quando o seu $y$ é igual a $x + 4$ .

Pontos na reta y = x + 4

Ponto	y do ponto	x + 4	Na reta?
(−5, 0)	0	−1	não
(−3, 1)	1	1	sim
(−2, 1)	1	2	não
(0, 4)	4	4	sim
(2, 6)	6	6	sim

Atenção

Os pontos (−5, 0) e (−2, 1) estão a exatamente 5 km do hospital, mas não estão na reta, então não podem ser a estação.

Passo 3 Calcular as distâncias

Para os três pontos da reta, a distância até $P$ é $d = \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ .
$\begin{aligned} d_{1} & = \sqrt{(- 3 + 5)^{2} + (1 - 5)^{2}} \\ = \sqrt{2^{2} + (- 4)^{2}} \\ = \sqrt{20} \end{aligned}$
$\begin{aligned} d_{2} & = \sqrt{(0 + 5)^{2} + (4 - 5)^{2}} \\ = \sqrt{5^{2} + (- 1)^{2}} \\ = \sqrt{26} \end{aligned}$
$\begin{aligned} d_{3} & = \sqrt{(2 + 5)^{2} + (6 - 5)^{2}} \\ = \sqrt{7^{2} + 1^{2}} \\ = \sqrt{50} \end{aligned}$

Passo 4 Comparar com 5 km

Como $5 = \sqrt{25}$ , basta comparar os números dentro da raiz: $20 < 25$ , mas $26 > 25$ e $50 > 25$ . Só o ponto $(- 3, 1)$ fica a menos de 5 km do hospital.

Observação

Sem calculadora: $4, 5^{2} = 20, 25$ , então $\sqrt{20}$ é um pouco menos que 4,5 km.

Conclusão

Só a estação em $(- 3, 1)$ está na reta e a menos de 5 km do hospital, a cerca de 4,5 km. Portanto, a alternativa correta é a B.

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