Matemática · caderno azul

Questão 142 do ENEM 2021

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2021:

Marcar para revisar

O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, $\frac{1}{2}$ de probabilidade de acertar um dardo no alvo.

A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a $\frac{9}{10}$ . Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

Alternativa A: 2.

Incorreta — somou as chances ( $n \cdot \frac{1}{2}$ ) em vez de usar o complemento; com 2 dardos a chance real é 75%.

10,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta): 4.

Correta — 4 dardos dão 93,75% de chance de pontuar, o primeiro valor acima de 90%.

18,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 6.

Incorreta — 6 dardos passam de 98%, mas 4 já chegam a 90%; não é o mínimo.

35,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 9.

Incorreta — copiou o 9 da meta de 9/10; com 9 dardos a meta passa com muita sobra.

20,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 10.

Incorreta — copiou o 10 do denominador de 9/10; 10 dardos também passam, mas não são o mínimo.

15,0% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2021

Acerto no Brasil: 18,2%
Errada mais marcada: C, 35,3%
Nível na TRI: cerca de 870

Deixar para o fim Só 18% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Pegadinha A alternativa C atraiu 35% do Brasil, mais que a certa (18%). Antes de marcar, releia o que a pergunta pede.

Microdados do ENEM 2021 (INEP) · 2.143.758 participantes

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Evento complementar
Habilidade do ENEM: H30: Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.

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Questões parecidas: evento complementar em outras provas

O que você precisa saber

• Pelo menos um = 1 − nenhum
• Eventos independentes: as probabilidades se multiplicam
• Potências de 2: 2, 4, 8, 16, 32

Ideia da questão

A questão quer a menor quantidade de dardos que dê 90% ou mais de chance de acertar ao menos um. Calcule a chance de errar todos, tire de 1 e teste valores de n até passar de 9/10.

Resolução passo a passo

Passo 1 Passar para o complemento

Pontuar é acertar pelo menos um dardo, e o contrário disso é errar todos. Como cada dardo erra com probabilidade $\frac{1}{2}$ e os lançamentos são independentes, errar os $n$ dardos tem probabilidade $(\frac{1}{2})^{n}$ :
$P = 1 - \frac{1}{2^{n}}$

Atenção

Não some as probabilidades dos dardos ( $n \cdot \frac{1}{2}$ ): “pelo menos um” se calcula como 1 menos a chance de errar todos.

Passo 2 Montar a inequação

A chance de pontuar deve ser no mínimo $\frac{9}{10}$ :

1 - \frac{1}{2^{n}}

\geq \frac{9}{10}

\frac{1}{2^{n}}

\leq \frac{1}{10}

isola a fração

2^{n}

\geq 10

inverte as frações

Passo 3 Testar as potências de 2

Procura-se o menor $n$ com $2^{n}$ a partir de 10:

Potências de 2

Dardos	Potência de 2	Passa de 10?
2	4	não
3	8	não
4	16	sim

Observação

Em porcentagem: 3 dardos dão 87,5% de chance de pontuar, e 4 dardos dão 93,75%, que passa dos 90%.

Conclusão

Com 4 dardos, a chance de pontuar passa de 90%, e com 3 ainda não passa. Portanto, a alternativa correta é a B.

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