Matemática · caderno azul

Questão 166 do ENEM 2016

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2016:

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Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte ( $F$ ) até o reservatório de um novo bairro ( $B$ ).

Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas $x O y$ da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.

Figura no plano cartesiano, na questão 166 do ENEM 2016

Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1 m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro.

Use 3 como aproximação para $π$ e 1,4 como aproximação para $\sqrt{2}$ .

O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de

Alternativa A: 1 260.

Incorreta — Usa só metade da semicircunferência: 2,1 km, ou seja, 2 100 m × 0,6 h = 1 260 h.

19,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta): 2 520.

Correta — A semicircunferência (4 200 m a 0,6 h por metro) leva 2 520 h, menos que o segmento (2 800 h).

26,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 2 800.

Incorreta — É o tempo do segmento (2 800 m × 1,0 h); a semicircunferência é mais longa, mas mais rápida.

24,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 3 600.

Incorreta — Usa raio 2 km (diferença das coordenadas) em vez de √2 ≈ 1,4 km: 6 000 m × 0,6 h = 3 600 h.

19,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 4 000.

Incorreta — 4 000 h passa das 2 800 h do segmento, que já é uma opção mais rápida: não é o menor tempo.

8,9% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2016

Acerto no Brasil: 26,8%
Errada mais marcada: C, 24,5%
Nível na TRI: cerca de 840

Microdados do ENEM 2016 (INEP) · 5.688.697 participantes · 0,6% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Comprimento de circunferência e arco
Habilidade do ENEM: H22: Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

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Questões parecidas: comprimento de circunferência e arco em outras provas

O que você precisa saber

• Distância entre dois pontos: $\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$
• Semicircunferência: comprimento $π r$ , com r igual à metade do diâmetro
• Converter km em m, pois o tempo é dado por metro

Ideia da questão

A questão quer o menor tempo entre dois traçados com tempos de obra diferentes por metro, e não o traçado mais curto. Calcule o comprimento de cada um em metros, multiplique pelo tempo por metro e compare.

Resolução passo a passo

Passo 1 Calcular o comprimento do segmento

F e B diferem 2 km na horizontal e 2 km na vertical, e o segmento mede a distância entre os dois pontos. Use 1,4 para $\sqrt{2}$ .
$\begin{aligned} F B & = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} \\ = \sqrt{8} \\ = 2 \sqrt{2} \\ \approx 2 \cdot 1, 4 \\ = 2, 8 km \end{aligned}$

Passo 2 Calcular o tempo do segmento

O segmento mede 2 800 m, e cada metro leva 1,0 h.
$\begin{aligned} 2 800 \cdot 1, 0 \\ = 2 800 h \end{aligned}$

Passo 3 Calcular o tempo da semicircunferência

FB é o diâmetro da semicircunferência, então o raio é a metade de FB. O comprimento dela é $π$ vezes o raio, e cada metro leva 0,6 h: o resultado em km precisa virar metros antes de multiplicar.
$\begin{aligned} r & = \frac{2, 8}{2} \\ = 1, 4 km \\ π r & \approx 3 \cdot 1, 4 \\ = 4, 2 km \\ 4 200 \cdot 0, 6 \\ = 2 520 h \end{aligned}$

Observação

Sem calculadora: 42 × 6 = 252, então 4 200 × 0,6 = 2 520.

Passo 4 Escolher o menor tempo

Compare os dois tempos e fique com o menor.
$2 520 < 2 800$

Atenção

O caminho mais curto não é o mais rápido: o segmento é menor, mas o tempo por metro das duas obras é diferente.

Conclusão

A semicircunferência, mesmo sendo mais longa, é concluída em 2 520 h, contra 2 800 h do segmento. Portanto, a alternativa correta é a B.

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