Matemática · caderno azul

Questão 168 do ENEM 2016

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2016:

Marcar para revisar

Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

Alternativa A:

10^{2} \cdot 26^{2}

Incorreta — Contou só 26 letras (esqueceu as minúsculas) e não arrumou as posições dos dois tipos.

17,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

10^{2} \cdot 52^{2}

Incorreta — Contou as escolhas de cada símbolo, mas esqueceu as posições possíveis de algarismos e letras.

19,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

10^{2} \cdot 52^{2} \cdot \frac{4!}{2!}

Incorreta — Dividiu as posições por 2! só uma vez, sem dividir também pelo outro tipo repetido.

21,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

10^{2} \cdot 26^{2} \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}

Incorreta — Acertou as posições, mas contou só 26 letras, sem distinguir maiúsculas de minúsculas.

25,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta):

10^{2} \cdot 52^{2} \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}

Correta — 10 · 10 algarismos, 52 · 52 letras e 6 arrumações possíveis dos dois tipos.

15,0% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2016

Acerto no Brasil: 15,0%
Errada mais marcada: D, 25,9%
Nível na TRI: cerca de 840

Deixar para o fim Só 15% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2016 (INEP) · 5.688.697 participantes

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Princípio Fundamental da Contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela
Habilidade do ENEM: H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

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Questões parecidas: princípio fundamental da contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela em outras provas

O que você precisa saber

• Princípio multiplicativo: multiplicar as opções de cada casa
• Maiúscula e minúscula são letras diferentes: 52 letras
• Ordens com repetição: $\frac{n!}{a! \cdot b!}$

Ideia da questão

A questão quer o total de senhas com dois algarismos e duas letras em qualquer ordem. Multiplique as escolhas dos algarismos e das letras e depois pelo número de jeitos de arrumar os dois tipos nas quatro posições.

Resolução passo a passo

Passo 1 Contar as escolhas dos símbolos

Há 10 algarismos e, entre maiúsculas e minúsculas, $26 + 26 = 52$ letras. Cada casa tem a sua escolha e as escolhas se multiplicam: para uma ordem fixa, são $10^{2} \cdot 52^{2}$ senhas.

Uma senha com 2 algarismos e 2 letras

1º algarismo

10

2º algarismo

10

1ª letra

52

2ª letra

52

Passo 2 Contar as posições possíveis

Os algarismos (D) e as letras (L) podem ficar em qualquer lugar. O número de ordens de D, D, L, L é uma permutação com repetição:

\frac{4!}{2! \cdot 2!}

= \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!}

4! = 4 · 3 · 2!

= \frac{12}{2}

= 6

Observação

Conferência: as 6 ordens são DDLL, DLDL, DLLD, LDDL, LDLD e LLDD.

Atenção

Os dois tipos podem trocar de lugar: sem multiplicar pelas 6 ordens, o total fica menor que o correto.

Passo 3 Multiplicar os dois resultados

O total é o número de senhas de uma ordem fixa vezes o número de ordens possíveis.
$10^{2} \cdot 52^{2} \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!}$

Conclusão

A senha tem 10 · 10 escolhas de algarismos, 52 · 52 de letras e 6 ordens possíveis para esses dois tipos. Portanto, a alternativa correta é a E.

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