Matemática · caderno azul

Questão 167 do ENEM 2016

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2016:

Marcar para revisar

Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:

$y = 9 - x^{2}$ , sendo $x$ e $y$ medidos em metros.

Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a $\frac{2}{3}$ da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.

Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

Alternativa A: 18

Incorreta — Tomou 1/3 do retângulo de 54 m² em vez de 2/3.

22,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 20

Incorreta — É menos da metade do retângulo de 54 m², mas a parábola ocupa 2/3 dele.

19,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C (correta): 36

Correta — 2/3 do retângulo de 6 m (entre as raízes) por 9 m (altura do vértic

28,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 45

Incorreta — Passa de 2/3 do retângulo: seria 5/6 dos 54 m².

18,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 54

Incorreta — É a área do retângulo inteiro; faltou tomar 2/3 dela.

10,0% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2016

Acerto no Brasil: 28,8%
Errada mais marcada: A, 22,4%
Nível na TRI: cerca de 840

Microdados do ENEM 2016 (INEP) · 5.688.697 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra C · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Função quadrática: concavidade e raízes
Habilidade do ENEM: H21: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

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Questões parecidas: função quadrática: concavidade e raízes em outras provas

O que você precisa saber

• Raízes: valores de x em que y = 0 (extremos da base)
• Vértice: ponto mais alto do arco (altura)
• Retângulo: base × altura

Ideia da questão

A questão quer a área do arco, que vale 2/3 do retângulo de mesma base e altura. Ache a base pelas raízes da parábola, a altura pelo vértice e tome 2/3 do retângulo.

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar a base pelas raízes

O arco toca o chão onde $y = 0$ , e a base é a distância entre as duas raízes.

9 - x^{2}

= 0

9

= x^{2}

+ x² nos dois lados

x

= \pm 3

raiz quadrada

A base mede $3 - (- 3) = 6$ m.

Passo 2 Achar a altura pelo vértice

O eixo de simetria é o eixo vertical, então o vértice fica em $x = 0$ e a altura é o valor de $y$ aí.
$\begin{aligned} y & = 9 - 0^{2} \\ = 9 m \end{aligned}$

Passo 3 Calcular a área do arco

O retângulo de base 6 m e altura 9 m tem $6 \times 9 = 54$ m², e o arco ocupa $\frac{2}{3}$ dele.

\frac{2}{3} \cdot 54

= 2 \cdot 18

54 : 3 = 18

= 36 m^{2}

Atenção

A área é $\frac{2}{3}$ do retângulo, e não $\frac{1}{3}$ dele nem o retângulo inteiro.

Conclusão

A tampa tem 6 m de base e 9 m de altura, e o arco ocupa 2/3 do retângulo correspondente, ou seja, 36 m². Portanto, a alternativa correta é a C.

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