Matemática · caderno azul

Questão 152 do ENEM 2021

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2021:

Marcar para revisar

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo $Δ$ e estrela $*$ , definidas sobre o conjunto dos números reais por $x Δ y = x^{2} + x y - y^{2}$ e $x * y = x y + x$ .

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada $b$ , que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação $(a Δ b) * (b Δ a) = 0$ . Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada $b = 1$ .

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

Alternativa A:

\sqrt{5}

Incorreta — vale cerca de 2,24, menos que 2 + 0,62 = 2,62, a soma das duas maiores soluções.

12,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

\sqrt{3}

Incorreta — vale cerca de 1,73, menos que 2, mas uma das duas maiores soluções já é o 2.

18,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

\sqrt{1}

Incorreta — é a soma das soluções 2 e −1 do segundo fator; faltaram as do primeiro.

16,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}

Incorreta — é só a maior solução do primeiro fator; faltou somar a solução 2 do segundo.

29,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta):

\frac{3 + \sqrt{5}}{2}

Correta — as duas maiores soluções são 2 e a raiz positiva de a² + a − 1 = 0.

22,2% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2021

Acerto no Brasil: 22,2%
Errada mais marcada: D, 29,5%

Microdados do ENEM 2021 (INEP) · 2.143.758 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Equações do 2º grau: resolução e problemas · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H21: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

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Questões parecidas: equações do 2º grau: resolução e problemas em outras provas

O que você precisa saber

• Substituir os valores nas definições de x Δ y e x * y
• Produto igual a zero: algum fator é zero
• Equação do 2º grau: Bhaskara ou fatoração

Ideia da questão

A questão quer a soma das duas maiores soluções de uma equação montada com as duas operações. Troque b por 1, fatore o produto, resolva cada fator, ordene as soluções e some as duas maiores.

Resolução passo a passo

Passo 1 Calcular as duas entradas

Com $b = 1$ , a operação triângulo dá os dois valores que entram na estrela. O primeiro, chamado de $X$ , é:
$\begin{aligned} X & = a Δ 1 \\ = a^{2} + a \cdot 1 - 1^{2} \\ = a^{2} + a - 1 \end{aligned}$
O segundo, chamado de $Y$ , troca a ordem dos termos:
$\begin{aligned} Y & = 1 Δ a \\ = 1^{2} + 1 \cdot a - a^{2} \\ = 1 + a - a^{2} \end{aligned}$

Passo 2 Aplicar a estrela

A estrela multiplica os dois valores e soma o primeiro. Pondo $X$ em evidência:
$\begin{aligned} X * Y & = X Y + X \\ = X (Y + 1) \end{aligned}$
O produto é zero quando um dos fatores é zero: $X = 0$ ou $Y + 1 = 0$ .

Passo 3 Resolver o primeiro fator

Em $X = 0$ , aplica-se a fórmula de Bhaskara:

a^{2} + a - 1

= 0

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

= 1 + 4

= 5

discriminante

a

= \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}

Passo 4 Resolver o segundo fator

Em $Y + 1 = 0$ , juntam-se os números e troca-se o sinal:

1 + a - a^{2} + 1

= 0

- a^{2} + a + 2

= 0

a^{2} - a - 2

= 0

× (−1) nos dois lados

(a - 2) (a + 1)

= 0

As soluções do segundo fator são $a = 2$ e $a = - 1$ .

Atenção

Não pare no primeiro fator: as soluções do segundo também contam, e uma delas, o 2, é a maior de todas.

Passo 5 Somar as duas maiores soluções

Em ordem decrescente, as quatro soluções são 2, $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ , $- 1$ e $\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ . Somam-se as duas maiores:
$\begin{aligned} 2 + \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ = \frac{4}{2} + \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \end{aligned}$

Observação

Sem calculadora: $2, 2^{2} = 4, 84$ e $2, 3^{2} = 5, 29$ , então $\sqrt{5} \approx 2, 24$ . Assim, $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ vale cerca de 0,62 e a outra solução do primeiro fator, cerca de $- 1, 62$ .

Conclusão

As duas maiores soluções da equação são 2 e a raiz positiva de a² + a − 1 = 0, e a soma delas é o valor recebido pelo navio. Portanto, a alternativa correta é a E.

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