Questão 136 do ENEM 2021

Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é representada pela letra grega $\varphi$, e seu valor é a solução positiva da equação ${\varphi }^2=\varphi +1$.

As potências de $\varphi$ podem ser escritas na forma $a\varphi +b$, em que $a$ e $b$ são inteiros positivos, como mostra o quadro.

A potência ${\varphi }^8$, escrita na forma $a\varphi +b$ ($a$ e $b$ são inteiros positivos), é

Um estúdio de design usa a razão prateada, o número positivo $\delta$ que satisfaz ${\delta }^2=2\delta +1$, para definir as proporções de uma coleção de molduras. Para calcular as medidas, o estúdio escreve as potências de $\delta$ na forma $a\delta +b$, em que $a$ e $b$ são inteiros positivos, como no quadro:

• ${\delta }^2=2\delta +1$
• ${\delta }^3=5\delta +2$
• ${\delta }^4=12\delta +5$
• ${\delta }^5=29\delta +12$

A potência ${\delta }^6$, escrita na forma $a\delta +b$ ($a$ e $b$ são inteiros positivos), é