Matemática · caderno azul

Questão 155 do ENEM 2020

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2020:

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O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

Figura geométrica, na questão 155 do ENEM 2020

O quadrado $P R S T$ , com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.

Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

Alternativa A:

{(\frac{1}{2})}^{100}

Incorreta — contou 100 reduções, mas entre o 1º e o 100º quadrado há 99.

30,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B (correta):

{(\frac{1}{2})}^{99}

Correta — o 1º quadrado tem lado 1 e o 100º passa por 99 reduções à metade.

28,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

{(\frac{1}{2})}^{97}

Incorreta — com 97 reduções chega-se ao 98º quadrado; faltam duas reduções para o 100º.

14,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

{(\frac{1}{2})}^{- 98}

Incorreta — o expoente negativo inverte a razão (2 em vez de 1/2) e ainda erra a contagem (98 em vez de 99); o lado ficaria maior que 1.

11,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

{(\frac{1}{2})}^{- 99}

Incorreta — acertou os 99 passos, mas pôs expoente negativo (razão 2 em vez de 1/2): o lado cresceria, e os quadrados diminuem.

14,6% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2020

Acerto no Brasil: 28,8%
Errada mais marcada: A, 30,4%
Nível na TRI: cerca de 670

Microdados do ENEM 2020 (INEP) · 2.507.193 participantes

Gabarito oficial: letra B · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: PG: termo geral · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H2: Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

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Questões parecidas: pg: termo geral em outras provas

O que você precisa saber

• Cada lado é a metade do anterior: razão $\frac{1}{2}$
• Termo geral da PG: $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$

Ideia da questão

A questão quer o lado do 100º quadrado, que é a metade do anterior a cada passo. Conte quantas vezes o lado foi dividido por 2 até o 100º quadrado e eleve $\frac{1}{2}$ a essa quantidade.

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar a razão

Cada novo quadrado tem lado igual à metade do anterior, e o primeiro tem lado 1. Os lados formam uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ :
$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$

Passo 2 Escrever o termo geral

O lado do $n$ -ésimo quadrado foi multiplicado por $\frac{1}{2}$ uma vez a menos que $n$ : o 2º lado tem uma redução, o 3º tem duas.
$a_{n} = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}$

Atenção

Conte as reduções, e não os quadrados: o 1º quadrado ainda não foi reduzido (expoente 0).

Passo 3 Calcular o 100º lado

Para $n = 100$ , o expoente é $100 - 1 = 99$ .
$a_{100} = (\frac{1}{2})^{99}$

Conclusão

O lado do centésimo quadrado foi dividido por 2 noventa e nove vezes e mede $(\frac{1}{2})^{99}$ . Portanto, a alternativa correta é a B.

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