Matemática · caderno azul

Questão 180 do ENEM 2016

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2016:

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Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por

Figura da questão 180 do ENEM 2016 (Logarítmica: interpretação e relação com exponencial)

sendo $E$ a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e $E_{0}$ uma constante real positiva. Considere que $E_{1}$ e $E_{2}$ representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).

Qual a relação entre $E_{1}$ e $E_{2}$ ?

Alternativa A:

E_{1} = E_{2} + 2

Incorreta — Tratou a escala como linear: a diferença de 2 pontos na magnitude virou "mais 2" na energia.

20,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

E_{1} = 10^{2} \cdot E_{2}

Incorreta — Usou a diferença de magnitudes (9 − 7) como expoente e esqueceu o fator 3/2 da fórmula.

19,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C (correta):

E_{1} = 10^{3} \cdot E_{2}

Correta — Cada 2 pontos de magnitude valem 3 no logaritmo, o que multiplica a energia por mil.

21,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

E_{1} = 10^{\frac{9}{7}} \cdot E_{2}

Incorreta — Dividiu as magnitudes (9 ÷ 7) e usou esse quociente como expoente da base 10.

19,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

E_{1} = \frac{9}{7} \cdot E_{2}

Incorreta — Dividiu as magnitudes (9 ÷ 7) e usou esse quociente como razão entre as energias.

18,5% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2016

Acerto no Brasil: 21,2%
Errada mais marcada: A, 20,8%
Nível na TRI: cerca de 900

Microdados do ENEM 2016 (INEP) · 5.688.697 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra C · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Logarítmica: interpretação e relação com exponencial · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

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Questões parecidas: logarítmica: interpretação e relação com exponencial em outras provas

O que você precisa saber

• $\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$
• $\log x = y$ significa $x = 10^{y}$ (base 10)
• Subtrair as magnitudes elimina $E_{0}$

Ideia da questão

A questão quer saber quantas vezes a energia do terremoto de 9,0 é maior que a do de 7,0. Subtraia as duas magnitudes, isole o logaritmo de $\frac{E_{1}}{E_{2}}$ e transforme-o em potência de 10.

Resolução passo a passo

Passo 1 Escrever as magnitudes

A fórmula vale para cada terremoto: o do Japão tem magnitude $M_{1}$ e energia $E_{1}$ , e o da China, magnitude $M_{2}$ e energia $E_{2}$ .
$\begin{aligned} M_{1} & = \frac{2}{3} \log \frac{E_{1}}{E_{0}} \\ M_{2} & = \frac{2}{3} \log \frac{E_{2}}{E_{0}} \end{aligned}$

Passo 2 Subtrair as magnitudes

Subtrair as duas fórmulas elimina a constante $E_{0}$ : o fator $\frac{2}{3}$ vai para fora e a diferença de logaritmos vira o logaritmo de um quociente.

M_{1} - M_{2}

= \frac{2}{3} \log \frac{E_{1}}{E_{0}} - \frac{2}{3} \log \frac{E_{2}}{E_{0}}

= \frac{2}{3} (\log \frac{E_{1}}{E_{0}} - \log \frac{E_{2}}{E_{0}})

fator comum

= \frac{2}{3} \log \frac{\frac{E_{1}}{E_{0}}}{\frac{E_{2}}{E_{0}}}

diferença vira quociente

= \frac{2}{3} \log \frac{E_{1}}{E_{2}}

Passo 3 Isolar o logaritmo

As magnitudes são 9 e 7. Multiplicar por 3 e dividir por 2 deixa o logaritmo sozinho.

2

= \frac{2}{3} \log \frac{E_{1}}{E_{2}}

9 − 7 = 2

6

= 2 \log \frac{E_{1}}{E_{2}}

× 3 nos dois lados

3

= \log \frac{E_{1}}{E_{2}}

: 2 nos dois lados

Atenção

Não pare em 2: a magnitude é só $\frac{2}{3}$ do logaritmo, então a diferença de 2 pontos vale 3 no logaritmo, e não 2.

Passo 4 Passar para potência de 10

Pela definição de logaritmo, $\log b = x$ significa $b = 10^{x}$ .

\frac{E_{1}}{E_{2}}

= 10^{3}

definição de log

E_{1}

= 10^{3} \cdot E_{2}

× E₂ nos dois lados

Conclusão

O terremoto de magnitude 9,0 libera mil vezes a energia do de magnitude 7,0. Portanto, a alternativa correta é a C.

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