Matemática · caderno azul

Questão 172 do ENEM 2025

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2025:

Marcar para revisar

Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna $P$ , em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização $t$ , em hora, e de um parâmetro positivo $K$ , que define o modelo da máquina, segundo a expressão:

$P = 4 \cdot \log [- K \cdot (t + 1) \cdot (t - 19)]$

O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.

O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro $K$ , atendendo à recomendação do fabricante.

O maior valor a ser escolhido para $K$ é

Alternativa A (correta):

10^{0, 5}

Correta — o produto chega a 100 em t = 9, e $100 K \leq 10^{2, 5}$ dá $K \leq 10^{0, 5}$ .

12,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

10^{8}

Incorreta — esqueceu de dividir por 4: com $\log \leq 10$ , sai $10^{10} \div 100 = 10^{8}$ .

23,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

\frac{10^{2, 5}}{84}

Incorreta — usou t = 5, metade das 10 horas; o produto ainda cresce até t = 9.

26,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

\frac{10^{2, 5}}{99}

Incorreta — testou só o fim das 10 horas; o produto é maior em t = 9, onde vale 100.

23,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

25 \times 10^{- 2}

Incorreta — trocou $10^{2, 5}$ por $2, 5 \times 10 = 25$ , e 25 ÷ 100 dá esse valor.

13,9% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2025

Acerto no Brasil: 12,0%
Errada mais marcada: C, 26,8%

Microdados do ENEM 2025 (INEP) · 3.176.917 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Logarítmica: interpretação e relação com exponencial
Habilidade do ENEM: H22: Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

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Questões parecidas: logarítmica: interpretação e relação com exponencial em outras provas

O que você precisa saber

• $\log x \leq c$ equivale a $x \leq 10^{c}$
• Parábola com raízes $r_{1}$ e $r_{2}$ : vértice em $\frac{r_{1} + r_{2}}{2}$

Ideia da questão

A questão quer o maior K que mantém a pressão até 10 atm durante as 10 horas. Transforme a condição do log numa desigualdade e use o maior valor que o produto atinge entre 0 e 10 horas.

Resolução passo a passo

Passo 1 Isolar o logaritmo

A pressão não pode passar de 10:

4 \log [- K (t + 1) (t - 19)]

\leq 10

: 4 nos dois lados

\log [- K (t + 1) (t - 19)]

\leq 2, 5

Passo 2 Tirar o logaritmo

Logaritmo na base 10 até 2,5 quer dizer que o número dentro dele vai até $10^{2, 5}$ :
$- K (t + 1) (t - 19) \leq 10^{2, 5}$

Passo 3 Achar o pior momento

O produto $- (t + 1) (t - 19)$ é uma parábola virada para baixo, com raízes −1 e 19. O máximo fica no meio delas, em $t = 9$ , dentro das 10 horas de uso: $(9 + 1) (19 - 9) = 100$ .

Atenção

Não teste só o fim do turno: em t = 10 o produto vale 99, menos que os 100 de t = 9.

Passo 4 Calcular o maior K

No pior momento a condição ainda precisa valer:

100 \cdot K

\leq 10^{2, 5}

: 100 nos dois lados

K

\leq \frac{10^{2, 5}}{10^{2}}

K

\leq 10^{0, 5}

Conclusão

O produto atinge 100 em t = 9, e por isso K pode ir no máximo até 10^0,5. Portanto, a alternativa correta é a A.

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