Questão 162 do ENEM 2015

Resolução passo a passo

Os pedaços iguais, sem sobras, têm como tamanho um divisor comum dos três comprimentos. Fatorando: $540=2^2\cdot 3^3\cdot 5$, $810=2\cdot 3^4\cdot 5$ e $1080=2^3\cdot 3^3\cdot 5$.

O maior divisor comum usa cada fator com o menor expoente que aparece nos três números:
$$\begin{array}{rl}& \phantom{=}2\cdot 3^3\cdot 5\\ & =2\cdot 27\cdot 5\\ & =270\end{array}$$

Os pedaços de 270 cm passam de 200 cm. Todo divisor comum divide o MDC, então o maior pedaço menor que 200 cm é um divisor de 270: o maior deles é a metade, 135 cm.

Cada grupo de tábuas rende o comprimento dividido por 135, vezes a quantidade de tábuas:
$$\begin{array}{rl}& \phantom{=}40\cdot \frac{540}{135}+30\cdot \frac{810}{135}+10\cdot \frac{1080}{135}\\ & =40\cdot 4+30\cdot 6+10\cdot 8\\ & =160+180+80\\ & =420\end{array}$$