Matemática · caderno azul

Questão 161 do ENEM 2017

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2017:

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Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto‑retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

Figura espacial, na questão 161 do ENEM 2017

Quais devem ser os valores de $X$ e de $Y$ , em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

Alternativa A: 1 e 49

Incorreta — Gasta os 100 m ( $2 \cdot 1 + 2 \cdot 49$ ), mas a área é só 49 m², longe do máximo.

8,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 1 e 99

Incorreta — Usa $X + Y = 100$ e esquece os dois lados de cada medida: gastaria 200 m de tela.

11,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 10 e 10

Incorreta — Gasta só 40 m de tela ( $2 \cdot 10 + 2 \cdot 10$ ) e a área é de 100 m²: sobra tela.

28,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D (correta): 25 e 25

Correta — A tela dá $X + Y = 50$ , e a área $X (50 - X)$ é máxima em $X = 25$ , com $Y = 25$ .

27,9% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E: 50 e 50

Incorreta — Gastaria 200 m de tela ( $2 \cdot 50 + 2 \cdot 50$ ), o dobro do disponível.

23,5% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2017

Acerto no Brasil: 27,9%
Errada mais marcada: C, 28,3%
Nível na TRI: cerca de 740

Microdados do ENEM 2017 (INEP) · 4.434.517 participantes

Gabarito oficial: letra D · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Função quadrática: vértice, máximo e mínimo
Habilidade do ENEM: H21: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

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Questões parecidas: função quadrática: vértice, máximo e mínimo em outras provas

O que você precisa saber

• Perímetro do retângulo: $2 X + 2 Y$ ; área: $X \cdot Y$
• Isolar uma variável na restrição e substituir na área
• Máximo de $a x^{2} + b x + c$ com $a < 0$ : $x_{v} = \frac{- b}{2 a}$

Ideia da questão

A questão quer as medidas do retângulo que dão a maior área com 100 m de tela nas laterais. Use a tela para escrever Y em função de X, monte a área como função de X e ache o vértice dessa função.

Resolução passo a passo

Passo 1 Escrever Y usando X

A tela dá a volta na base, então os 100 m são o perímetro do retângulo:

2 X + 2 Y

= 100

X + Y

= 50

: 2 nos dois lados

Y

= 50 - X

− X nos dois lados

Atenção

Use $X + Y = 50$ , e não 100: a tela dá a volta no viveiro e cobre cada medida duas vezes.

Passo 2 Montar a função da área

A área da base é $X \cdot Y$ . Substituindo $Y = 50 - X$ :
$\begin{aligned} A & = X \cdot Y \\ A & = X (50 - X) \\ A & = - X^{2} + 50 X \end{aligned}$

Passo 3 Achar o vértice

Na função, $a = - 1$ e $b = 50$ . Como $a < 0$ , a parábola abre para baixo e o máximo está no vértice:
$\begin{aligned} X_{v} & = \frac{- b}{2 a} \\ = \frac{- 50}{2 \cdot (- 1)} \\ = \frac{- 50}{- 2} \\ = 25 \end{aligned}$

Observação

Sem fórmula: $A = X (50 - X)$ vale 0 em $X = 0$ e em $X = 50$ ; o máximo fica no meio, em $X = 25$ .

Passo 4 Calcular Y

Com $X = 25$ , volta-se a $Y = 50 - X$ :
$\begin{aligned} Y & = 50 - 25 \\ = 25 \end{aligned}$

Conclusão

O viveiro de maior área é um quadrado de 25 m de lado, que usa exatamente os 100 m de tela. Portanto, a alternativa correta é a D.

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