Matemática · caderno azul

Questão 168 do ENEM 2017

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2017:

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A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Figura espacial, na questão 168 do ENEM 2017

Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?

Alternativa A:

\frac{16}{3}

Incorreta — Achou só o trecho do arco acima do retângulo, H − 3, e não a altura desde o chão.

27,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

\frac{31}{5}

Incorreta — Com esse H, o arco a 4 m do eixo teria cerca de 2,2 m, e não os 3 m da figura.

15,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

\frac{25}{4}

Incorreta — Trocou as medidas: usou o ponto (3; 4) em vez de (4; 3), o que dá a = −1/4.

20,8% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D (correta):

\frac{25}{3}

Correta — A parábola de raízes ±5 que passa por (4; 3) tem a = −1/3, e o vértice fica a pouco mais de 8 m do chão.

27,6% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

\frac{75}{2}

Incorreta — Com esse H, o arco a 4 m do eixo teria 13,5 m, bem acima dos 3 m da figura.

8,2% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2017

Acerto no Brasil: 27,6%
Errada mais marcada: A, 27,3%
Nível na TRI: cerca de 850

Microdados do ENEM 2017 (INEP) · 4.434.517 participantes

Gabarito oficial: letra D · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Função quadrática: parábola a partir do gráfico ou de condições
Habilidade do ENEM: H21: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

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O que você precisa saber

• Parábola de raízes $x_{1}$ e $x_{2}$ : $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
• O vértice fica no eixo de simetria, no meio das raízes
• Para achar a, substituir um ponto da curva

Ideia da questão

A questão quer a altura do vértice da parábola, medida desde o chão. Escreva a equação pelas raízes ±5, use a quina do retângulo para achar a constante e calcule y no eixo de simetria.

Resolução passo a passo

Passo 1 Posicionar os eixos

Coloca-se a origem no chão, no pé do eixo de simetria. A parábola corta o chão em $x = - 5$ e $x = 5$ , e a quina do retângulo é o ponto $(4; 3)$ .

Passo 2 Escrever a equação da parábola

Com raízes em $- 5$ e $5$ , a equação tem a forma $y = a (x - 5) (x + 5)$ , com $a$ ainda desconhecido.
$\begin{aligned} y & = a (x - 5) (x + 5) \\ = a (x^{2} - 25) \end{aligned}$

Passo 3 Achar a constante a

A quina do retângulo está na parábola, então o ponto $(4; 3)$ deve satisfazer a equação.
$\begin{aligned} 3 & = a (4^{2} - 25) \\ 3 & = a (16 - 25) \\ 3 & = - 9 a \\ a & = \frac{3}{- 9} \\ = - \frac{3^{: 3}}{9_{: 3}} \\ = - \frac{1}{3} \end{aligned}$

Passo 4 Calcular a altura H

A altura H é o valor de y no eixo de simetria, onde $x = 0$ .
$\begin{aligned} H & = - \frac{1}{3} (0^{2} - 25) \\ = \frac{25}{3} \end{aligned}$

Atenção

H é medida desde o chão. O valor $\frac{16}{3}$ é só o trecho do arco acima do retângulo, ou seja, $H - 3$ .

Conclusão

A parábola tem o vértice a $\frac{25}{3}$ m do chão, e essa é a altura H. Portanto, a alternativa correta é a D.

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