Matemática · caderno azul

Questão 160 do ENEM 2017

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em outubro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2017:

Marcar para revisar

O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.

Figura da questão 160 do ENEM 2017 (Princípio Fundamental da Contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela)

Disponível em: www.pt.fifa.com. Acesso em: 19 nov. 2013 (adaptado).

De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?

Alternativa A: 15

Incorreta — Só três regiões já dão $4 \cdot 3 \cdot 3 = 36$ , mais que 15, e a logomarca tem seis.

25,4% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B: 30

Incorreta — Só cinco regiões já dão $4 \cdot 3^{4} = 324$ , muito mais que 30.

29,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C: 108

Incorreta — Conta só 4 regiões e esquece as duas partes da base: $4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 108$ .

23,5% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D: 360

Incorreta — $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3$ supõe cores diferentes entre todas as regiões, mas só as vizinhas precisam diferir.

15,3% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E (correta): 972

Correta — A bola tem 4 cores e cada uma das outras 5 regiões tem 3: $4 \cdot 3^{5} = 972$ .

6,3% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2017

Acerto no Brasil: 6,3%
Errada mais marcada: B, 29,1%
Nível na TRI: cerca de 890

Deixar para o fim Só 6% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2017 (INEP) · 4.434.517 participantes

Gabarito oficial: letra E · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Princípio Fundamental da Contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela
Habilidade do ENEM: H3: Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

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Questões parecidas: princípio fundamental da contagem, incluindo senhas, placas e contagem por tabela em outras provas

O que você precisa saber

• Princípio multiplicativo: multiplicar as opções de cada região
• Regiões vizinhas: as que dividem um trecho de borda
• Potência: $3^{5} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

Ideia da questão

A questão quer o número de pinturas com 4 cores em que regiões vizinhas têm cores diferentes. Conte as regiões, veja quem toca em quem, escolha as cores de uma em uma e multiplique as opções de cada região.

Resolução passo a passo

Passo 1 Contar as regiões

A logomarca tem 6 regiões: a bola, que também ocupa os vãos entre os dedos; três mãos (a de cima, a da direita e a de baixo, que desce pela haste da taça); e duas partes da base.

Atenção

Conte as 6 regiões: esquecer as duas partes da base leva a $4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 108$ .

Passo 2 Descobrir quem toca em quem

Duas regiões são vizinhas quando dividem um trecho de borda:

Vizinhas de cada região

Região	Vizinhas
Bola	as três mãos
Mão de cima	bola
Mão da direita	bola
Mão de baixo	bola e base (meio)
Base (meio)	mão de baixo e base (esquerda)
Base (esquerda)	base (meio)

Passo 3 Contar as cores por região

A bola pode ter qualquer uma das 4 cores. Cada região seguinte só precisa ser diferente da sua vizinha já pintada, o que deixa 3 cores:

Cores possíveis em cada região

Bola

4

Mão de cima

3

Mão da direita

3

Mão de baixo

3

Base (meio)

3

Base (esquerda)

3

Passo 4 Multiplicar as escolhas

O total de pinturas é o produto das opções de cada região:
$\begin{aligned} 4 \cdot 3^{5} \\ = 4 \cdot 243 \\ = 972 \end{aligned}$

Observação

Sem calculadora: $3^{5} = 243$ (3, 9, 27, 81, 243) e $4 \times 243$ é dobrar duas vezes: 486 e 972.

Conclusão

A bola admite 4 cores e cada uma das outras 5 regiões admite 3, pois só precisa diferir da vizinha já pintada. Portanto, a alternativa correta é a E.

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