Matemática · caderno azul

Questão 152 do ENEM 2012

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em novembro de 2026

Esta questão em cada caderno do ENEM 2012:

Marcar para revisar

Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida $R$ do raio adequado para a plataforma em termos da medida $L$ do lado da base da estátua.

Qual relação entre $R$ e $L$ o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?

Alternativa A (correta):

R \geq L / \sqrt{2}

Correta — os cantos da base têm de caber no círculo, e o raio mínimo é a metade da diagonal.

17,2% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa B:

R \geq 2 L / π

Incorreta — 2L/π vem de igualar o perímetro do círculo ao do quadrado, e não olha os cantos.

21,1% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa C:

R \geq L / \sqrt{π}

Incorreta — L/√π vem de igualar as áreas; o que importa é a distância do centro aos cantos.

20,0% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa D:

R \geq L / 2

Incorreta — L/2 é o raio de um círculo dentro do quadrado, e aqui o quadrado é que tem de caber.

26,7% do Brasil marcou esta alternativa

Alternativa E:

R \geq L / (2 \sqrt{2})

Incorreta — divide a diagonal L√2 por 4, quando o raio é a diagonal dividida por 2.

14,3% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2012

Acerto no Brasil: 17,2%
Errada mais marcada: D, 26,7%
Nível na TRI: cerca de 810

Deixar para o fim Só 17% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2012 (INEP) · 4.093.459 participantes · 0,6% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Assunto: Polígonos regulares, incluindo ladrilhamento por ângulos · treinar no Banco
Habilidade do ENEM: H9: Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

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Questões parecidas: polígonos regulares, incluindo ladrilhamento por ângulos em outras provas

O que você precisa saber

• Diagonal do quadrado: Pitágoras, d² = L² + L²
• Quadrado dentro do círculo: vértices na borda ou dentro
• Racionalizar: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Ideia da questão

A questão quer o menor raio da plataforma circular que mantém a base quadrada inteira apoiada. Veja que o caso limite tem os vértices do quadrado na borda do círculo e ache o raio a partir da diagonal.

Resolução passo a passo

Passo 1 Achar a condição de segurança

A base fica toda sobre a plataforma quando os quatro vértices do quadrado ficam dentro do círculo. No caso limite, os vértices tocam a borda e os dois centros coincidem, então o raio é a metade da diagonal d do quadrado.
$R \geq \frac{d}{2}$

Atenção

O quadrado é que precisa caber no círculo: o raio não pode ser só L/2, porque os cantos ficam mais longe do centro que os lados.

Passo 2 Calcular a diagonal do quadrado

A diagonal é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos L.
$\begin{aligned} d^{2} & = L^{2} + L^{2} \\ = 2 L^{2} \end{aligned}$
$d = L \sqrt{2}$

Passo 3 Calcular o raio mínimo

O raio mínimo é a metade da diagonal. Para chegar à forma das alternativas, escreve-se o 2 do denominador como $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$ e cortam-se as raízes iguais.

R

\geq \frac{L \sqrt{2}}{2}

R

\geq \frac{L \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}

escrever 2 como √2 · √2

R

\geq \frac{L \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}

R

\geq \frac{L}{\sqrt{2}}

Conclusão

O raio da plataforma precisa ser pelo menos a metade da diagonal do quadrado, que é L dividido por raiz de dois. Portanto, a alternativa correta é a A.

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