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ENEM 2016 Regular

Matemática · caderno azul

Questão 169 do ENEM 2016

Resolução da Métria · prof. Wanderson Barbosa · atualizada em

Esta questão em cada caderno do ENEM 2016:

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Deixar para o fim

A distribuição de salários pagos em uma empresa pode ser analisada destacando-se a parcela do total da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores salários. Isso pode ser representado na forma de um gráfico formado por dois segmentos de reta, unidos em um ponto P, cuja abscissa tem valor igual a 90, como ilustrado na figura.

No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de funcionários, ordenados de forma crescente pelos valores de seus salários, e no eixo vertical tem-se o percentual do total da massa salarial de todos os funcionários.

Gráfico de linhas: Massa salarial acumulada por Quantidade de funcionários, na questão 169 do ENEM 2016

O Índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um determinado grupo, pode ser calculado pela razão AA+B, em que A e B são as medidas das áreas indicadas no gráfico.

A empresa tem como meta tornar seu Índice de Gini igual ao do país, que é 0,3. Para tanto, precisa ajustar os salários de modo a alterar o percentual que representa a parcela recebida pelos 10% dos funcionários de maior salário em relação ao total da massa salarial.

Disponível em: www.ipea.gov.br. Acesso em: 4 maio 2016 (adaptado).

Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser

Alternativa A (correta): 40%

Correta — P fica em y = 60, então os 10% de maior salário recebem 100 − 60 = 40% da massa.

19,2% do Brasil marcou esta alternativa
Alternativa B: 20%

: dá y = 20 e marca esse valor sem subtrair de 100.

20,7% do Brasil marcou esta alternativa
Alternativa C: 60%

Incorreta — 60% é a massa dos 90% de menor salário (a altura de P); falta subtrair de 100.

21,4% do Brasil marcou esta alternativa
Alternativa D: 30%

Incorreta — Confunde o índice 0,3 com o percentual pedido: 0,3 é o Índice de Gini, não uma parcela da massa.

27,6% do Brasil marcou esta alternativa
Alternativa E: 70%

Incorreta — Usa 1 − 0,3 = 0,7, a fração da área B, como se fosse a massa salarial dos 10% de maior salário.

10,5% do Brasil marcou esta alternativa

No ENEM 2016

Acerto no Brasil
19,2%
Errada mais marcada
D, 27,6%

Deixar para o fim Só 19% acertaram, menos do que se todos chutassem (20%). Na prova, deixe para depois das outras e não trave nela.

Microdados do ENEM 2016 (INEP) · 5.688.697 participantes · 0,5% deixaram em branco

Gabarito oficial: letra A · Ver a resolução

Sobre esta questão

Habilidade do ENEM
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Questões parecidas: áreas de triângulos e quadriláteros, incluindo malha e decomposição em outras provas

O que você precisa saber

• Área do triângulo (base × altura ÷ 2) e do trapézio
• Índice AA+B=0,3: A é 30% da área total
• No gráfico, a altura de P é a massa dos 90% que ganham menos

Ideia da questão

A questão quer a altura do ponto P, que mostra quanto da massa salarial fica com os 90% de menor salário. Use o Índice de Gini para achar a área B, escreva B como triângulo mais trapézio e resolva a equação; os 10% de maior salário ficam com o que sobra.

Resolução passo a passo

Passo 1 Calcular a área total

A soma A + B é a área do triângulo sob a diagonal, que tem base 100 e altura 100.
A+B=100⋅1002=100002=5000

Passo 2 Achar a área B

Com Índice de Gini 0,3, a área A é 30% da área total, e a área B é o que sobra.
A=0,3⋅5000=1500B=5000−1500=3500

Observação

Sem calculadora: 0,3 de 5 000 é 3 × 500 = 1 500.

Passo 3 Montar a área B

Seja y a altura de P. A região B se divide em um triângulo de base 90 e altura y e em um trapézio de bases y e 100 e altura 10.

B=90⋅y2+(y+100)⋅102=45y+5(y+100):2 nas duas frações

Passo 4 Resolver a equação

Iguale a área B a 3 500 e isole y.

45y+5(y+100)=350045y+5y+500=3500distributiva50y+500=350050y=3000−500 nos dois ladosy=60: 50 nos dois lados

Passo 5 Achar o percentual pedido

O ponto P mostra a massa salarial dos 90% de menor salário; os 10% de maior salário recebem o restante dos 100%.
100−60=40

Atenção

O valor 60 é a massa dos 90% de menor salário, não a dos 10% de maior salário: falta subtrair de 100.

Conclusão

Os 10% de maior salário devem receber 40% da massa salarial para o Índice de Gini chegar a 0,3. Portanto, a alternativa correta é a A.

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